Questão 2: (0,5 Ponto) Podemos classificar uma equação diferencial segundo seu tipo, ordem e linearidade. Marque a opção abaixo que representa uma equação diferencial ordinária de segunda ordem linear.
a) y^prime+p(x) y=q(x)
b) partial^2 upartial x^2+partial^2 upartial y^2=f(x, y)
c) a y^prime prime+b y^prime+c=p(x)
d) y^prime prime+(y^prime)^2=p(x)

Passo 1

O enunciado pede para identificar, entre as alternativas dadas, qual delas é uma equação diferencial ordinária (isto é, em que a função desconhecida depende de uma única variável), de segunda ordem (o maior grau de derivada é a segunda) e linear (a função e suas derivadas aparecem apenas à primeira potência e sem produtos entre si). Vamos analisar cada opção usando esses critérios.

Passo 2

Na alternativa (a) temos
y' + p(x),y = q(x).
Aqui aparece apenas y' (primeira derivada) e y, então é de ordem 1 e é linear, mas não é de segunda ordem. Logo, (a) está fora.

Passo 3

Na alternativa (b) temos
partial^2upartial x^2 + partial^2upartial y^2 = f(x,y)
Essa envolve derivadas parciais em duas variáveis (x,y), ou seja, é uma equação diferencial parcial (PDE) de segunda ordem e linear, mas não é ordinária. Logo, (b) está fora.

Passo 4

Na alternativa (c) temos
a,y'' + b,y' + c = p(x).
O maior derivado é y'', então é de ordem 2. As ocorrências de y'' e y' estão multiplicadas por funções constantes a e b e não há termos como (y')^n nem produtos y,y', portanto é linear em y. Trata-se de uma ODE de segunda ordem linear.

Passo 5

Na alternativa (d) temos
y'' + (y')^2 = p(x).
Apesar de ser uma ODE de segunda ordem, o termo (y')^2 implica potência 2 da derivada primeira, tornando-a não linear. Logo, (d) está fora.

Resposta

c) a,y'' + b,y' + c = p(x)

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