Use derivação implícita para encontrar partial zpartial x e partial zpartial y.
x^2+y^2+3 z^2=1

Passo 1

O enunciado define uma superfície implícita dada por
x^2+y^2+3z^2=1
e pede as derivadas parciais partial zpartial x e partial zpartial y.
Para isso vamos usar derivação implícita, aplicando a regra da cadeia em cada variável, tratando a outra como constante.

Passo 2

Diferenciando em relação a x, mantendo y constante, obtemos
ddxl(x^2r)+ddxl(y^2r) +ddxl(3z^2r) =ddx(1)
Como ddx(y^2)=0 e ddx(1)=0, e usando regra da cadeia em 3z^2,
2x + 3cdot 2zcdotpartial zpartial x=0

Passo 3

Isolando partial zpartial x, temos
2x + 6z,partial zpartial x=0 Longrightarrow 6z,partial zpartial x=-2x Longrightarrow partial zpartial x=-2x6z=-x3z

Passo 4

Agora diferenciamos em relação a y, mantendo x constante:
ddyl(x^2r)+ddyl(y^2r) +ddyl(3z^2r) =ddy(1)
Aqui ddy(x^2)=0 e ddy(1)=0, e pela regra da cadeia em 3z^2:
2y + 3cdot 2zcdotpartial zpartial y=0

Passo 5

Isolando partial zpartial y, segue
2y + 6z,partial zpartial y=0 Longrightarrow 6z,partial zpartial y=-2y Longrightarrow partial zpartial y=-2y6z=-y3z

Resposta

partial zpartial x=-x3z, partial zpartial y=-y3z

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