Resolva a equação diferencial linear usando um fator de integração:
(x^2+9) d yd x+x y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
l(x^2+9r),dydx+x,y=0,
que é uma equação linear de primeira ordem. Vamos reescrevê-la no formato padrão
dydx+P(x),y=Q(x)
e em seguida aplicar o fator de integração.

Passo 2

Dividindo toda a equação por ,x^2+9! obtemos a forma padrão:
dydx+xx^2+9,y=0
Aqui P(x)=dfracxx^2+9 e Q(x)=0.

Passo 3

O fator de integração mu(x) é dado por
mu(x)=expl(integral P(x),dxr) =expl(integral xx^2+9,dxr)
Fazendo a substituição u=x^2+9, temos du=2x,dx, logo
integral xx^2+9,dx =12integral duu =12lnl(x^2+9r)+const
Portanto
mu(x)=exp!l(tfrac12ln(x^2+9)r) =(x^2+9)^1/2

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por mu(x):
(x^2+9)^1/2dydx+xx^2+9(x^2+9)^1/2y =ddxl((x^2+9)^1/2yr)=0

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a x,
ddxl((x^2+9)^1/2yr)=0 Longrightarrow (x^2+9)^1/2y=C,
onde C é constante de integração.

Passo 6

Isolando y, obtemos a solução geral:
y=Craizx^2+9

Resposta

y=Craizx^2+9,
com C constante arbitrária.

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