Exercício 1 Use a Parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a derivada da função.
f(x)=integral0^x^4 cos ^2 t d t

Passo 1

Vamos ver o que o exercício pede: queremos encontrar a derivada da função usando a Parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo. Para isso, precisamos entender como derivar uma integral cujo limite superior é uma função de .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a Parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo. Ela nos diz que se , então a derivada de em relação a é simplesmente . Ou seja, .

Passo 3

No nosso caso, o limite superior da integral não é apenas , mas sim . Isso significa que precisamos usar a regra da cadeia para derivar a função composta que aparece no limite.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia, se F'(x) = f(g(x)) cdot g'(x) , então a derivada é dada por:
onde é a função que define o limite superior da integral.

Passo 5

No nosso exercício, temos:
f(x) = integral0^x^4 cos^2 t , dt
Aqui, e .

Passo 6

Calculando f(g(x)) = cos^2(x^4) e g'(x) = ddx(x^4) = 4x^3 :
f'(x) = cos^2(x^4) cdot 4x^3
Multiplicando esses resultados, temos:

Resposta

A derivada da função é .

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