Se R(t)=(3 t^2-t) i+(2-6 t) j-4 t k, achar:
integral2^4 R(t) d t

Passo 1

O enunciado pede a integral definida de uma função vetorial R(t)=(3t^2 - t),i + (2-6t),j -4t,k de t=2 a t=4. O conteúdo envolvido é integração de funções vetoriais, e vamos precisar usar o fato de que se R(t)=(Rx(t),Ry(t),Rz(t)), então

Passo 2

Para integrar R(t), aplicamos a integração componente a componente:
integral2^4R(t),dt =(integral2^4(3t^2 - t),dt)i +(integral2^4(2 - 6t),dt)j +(integral2^4(-4t),dt)k

Passo 3

Agora, achamos as antiderivadas de cada componente e avaliamos nos limites:
Para a componente i:
integral(3t^2 - t),dt = t^3 - tfrac12t^2
Avalia de 2 a 4:
(4^3 - tfrac12cdot4^2) - (2^3 - tfrac12cdot2^2) = (64 - 8) - (8 - 2) = 56 - 6 = 50

Passo 4

Para a componente j:
integral(2 - 6t),dt = 2t - 3t^2
Avalia de 2 a 4:
(2cdot4 - 3cdot4^2) - (2cdot2 - 3cdot2^2) = (8 - 48) - (4 - 12) = -40 - (-8) = -32

Passo 5

Para a componente k:
integral(-4t),dt = -2t^2
Avalia de 2 a 4:
(-2cdot4^2) - (-2cdot2^2) = -32 - (-8) = -24

Passo 6

Juntando tudo, a integral definida é o vetor cujas componentes são 50, -32 e -24.

Resposta

50,i - 32,j - 24,k

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