Exercício 1 Use a Parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a derivada da função.
f(x)=integral1^x 1t^3+1 d t

Passo 1

Beleza! Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a derivada da função
f(x) = integral1^x 1t^3+1 , dt
Esse problema está relacionado ao Teorema Fundamental do Cálculo, especificamente à Parte 2. Para resolver, vamos precisar entender como esse teorema conecta integrais e derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema Fundamental do Cálculo, Parte 2. Ele nos diz que se temos uma função definida como uma integral, como no caso de F(x) = integrala^x g(t) , dt, então a derivada dessa função é simplesmente a função que está sendo integrada, mas avaliada no ponto superior da integral.
Matematicamente, se
F'(x) = g(x)
então

Passo 3

No nosso exercício, a função f(x) = integral1^x 1t^3+1 , dt é dada por
Aqui, . De acordo com o teorema que mencionamos, a derivada de em relação a será simplesmente .

Passo 4

Aplicando o teorema, temos
f'(x) = 1x^3+1
Ou seja, a derivada da função é .

Resposta

A derivada da função é
f'(x) = 1x^3+1

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