Exercício 2. Deduza a equação da parábola:
de foco
e diretriz
.
de foco
Passo 1
O enunciado pede: deduzir a equação da parábola cuja foco é
e cuja diretriz é a reta
.
Informações fornecidas:
- Foco:
. - Diretriz:
.
O que queremos obter: a equação cartesiana (em
e
) da parábola formada por todos os pontos equidistantes de
e da reta
.
Passo 2
Lembrando a definição básica (aula rápida): a parábola é o lugar geométrico dos pontos cujo distância ao foco é igual à distância à diretriz.
- Seja um ponto genérico da parábola
. - Distância de
ao foco é a distância euclidiana:
Expliquei: usei a fórmula da distância entre dois pontos
e
:
aqui com
e
.
- Distância de
à diretriz é a distância vertical até a reta horizontal . Pela fórmula da distância ponto–reta (ou por observação), para a reta temos:
Expliquei: a reta
é horizontal, então a distância vertical simples é
.
Passo 3
Aplicando a definição da parábola (distâncias iguais), escrevemos:
Observação didática: ambos os lados são não-negativos (raízes e valor absoluto), portanto podemos quadrar os dois lados sem introduzir soluções falsas.
Quadrando ambos os lados:
Agora desenvolvo os termos passo a passo:
Então a igualdade fica:
Cancelei
dos dois lados (porque aparece em ambos):
Agora isolo
:
Fiz a divisão por
:
.
Passo 4
Interpretação e verificação (aula prática):
- A forma encontrada é uma parábola com eixo vertical (porque
está expresso em função de ). - A vértice é
. Explico: numa forma o vértice é ; aqui e . - O parâmetro
(distância do vértice ao foco) satisfaz , então . Verificação rápida: a distância vertical do vértice ao foco é , consistente. - Nota sobre o valor absoluto: a equação final assume os pontos com
compatíveis com a definição. Como foco tem e diretriz , a parábola fica acima da diretriz e tem na sua parte real; a manipulação algébrica manteve apenas as soluções físicas da definição (não introduzimos raízes negativas porque ambas as distâncias são não-negativas).