Exercício 2. Deduza a equação da parábola:
de foco F(4,4) e diretriz y=0.

Passo 1

O enunciado pede: deduzir a equação da parábola cuja foco é F(4,4) e cuja diretriz é a reta y=0.
Informações fornecidas:
  • Foco: F(4,4).
  • Diretriz: y=0.
O que queremos obter: a equação cartesiana (em x e y) da parábola formada por todos os pontos equidistantes de F(4,4) e da reta y=0.

Passo 2

Lembrando a definição básica (aula rápida): a parábola é o lugar geométrico dos pontos cujo distância ao foco é igual à distância à diretriz.
  • Seja um ponto genérico da parábola (x,y).
  • Distância de (x,y) ao foco F(4,4) é a distância euclidiana:
\text{dist}_{F}=\sqrt{(x-4)^{2}+(y-4)^{2}}.
Expliquei: usei a fórmula da distância entre dois pontos (x_1,y_1) e (x_2,y_2):
\text{dist}=\sqrt{(x_1-x_2)^{2}+(y_1-y_2)^{2}},
aqui com (x_1,y_1)=(x,y) e (x_2,y_2)=(4,4).
  • Distância de (x,y) à diretriz y=0 é a distância vertical até a reta horizontal y=0. Pela fórmula da distância ponto–reta (ou por observação), para a reta y=0 temos:
\text{dist}_{\text{diretriz}}=|y|.
Expliquei: a reta y=0 é horizontal, então a distância vertical simples é |y-0|=|y|.

Passo 3

Aplicando a definição da parábola (distâncias iguais), escrevemos:
\sqrt{(x-4)^{2}+(y-4)^{2}} = |y|.
Observação didática: ambos os lados são não-negativos (raízes e valor absoluto), portanto podemos quadrar os dois lados sem introduzir soluções falsas.
Quadrando ambos os lados:
(x-4)^{2}+(y-4)^{2} = y^{2}.
Agora desenvolvo os termos passo a passo:
(x-4)^{2}+(y-4)^{2} = (x-4)^{2} + \bigl(y^{2}-8y+16\bigr).
Então a igualdade fica:
(x-4)^{2} + y^{2} -8y +16 = y^{2}.
Cancelei y^{2} dos dois lados (porque aparece em ambos):
(x-4)^{2} -8y +16 = 0.
Agora isolo y:
-8y = - (x-4)^{2} -16,
8y = (x-4)^{2} +16,
y = \frac{1}{8}(x-4)^{2} + 2.
Fiz a divisão por 8: \dfrac{16}{8}=2.

Passo 4

Interpretação e verificação (aula prática):
  • A forma encontrada é uma parábola com eixo vertical (porque y está expresso em função de (x-4)^{2}).
  • A vértice é (4,2). Explico: numa forma y = \dfrac{1}{4p}(x-h)^{2}+k o vértice é (h,k); aqui h=4 e k=2.
  • O parâmetro p (distância do vértice ao foco) satisfaz \dfrac{1}{4p}=\dfrac{1}{8}, então p=2. Verificação rápida: a distância vertical do vértice (4,2) ao foco (4,4) é 2, consistente.
  • Nota sobre o valor absoluto: a equação final assume os pontos com y compatíveis com a definição. Como foco tem y=4 e diretriz y=0, a parábola fica acima da diretriz e tem y\ge 0 na sua parte real; a manipulação algébrica manteve apenas as soluções físicas da definição (não introduzimos raízes negativas porque ambas as distâncias são não-negativas).

Resposta

y = \frac{1}{8}(x-4)^{2} + 2

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