Questão 5. (2,0 ptos.) Use o teorema de Green para calcular a área da região R limitada por y=x^{2}-2, y=6-x^{2}.

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a área da região R limitada pelas duas curvas y=x^{2}-2 e y=6-x^{2}.
Informações dadas e pontos importantes que vamos usar:
  • As duas curvas são parábolas: uma abre para cima ( y=x^{2}-2) e outra abre para baixo ( y=6-x^{2}).
  • Os pontos de interseção da fronteira da região R satisfazem
x^{2}-2=6-x^{2}.
  • A região R é a faixa entre essas duas parábolas, simétrica em relação ao eixo y, com interseções em dois pontos simétricos em x.

Passo 2

Apresentando o Teorema de Green de forma prática (a “aula” curta e útil).
  • Teorema de Green (caso plano): se C é a fronteira orientada positivamente (contra-horário) de uma região R simples e P(x,y),Q(x,y) têm derivadas parciais contínuas em uma vizinhança de R, então
\iint_{R}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA=\oint_{C}P\,dx+Q\,dy.
  • Objetivo: obter a área \iint_{R}1\,dA. Para isso escolhemos funções P e Q tais que \dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y}=1.
Escolha conveniente:
  • Tomar P(x,y)=0 e Q(x,y)=x. Então
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial (x)}{\partial x}-0=1.
Pelo Teorema de Green:
\iint_{R}1\,dA=\oint_{C}0\cdot dx + x\,dy=\oint_{C}x\,dy.
Conclusão prática: a área de R é igual à integral de linha \oint_{C}x\,dy ao longo da fronteira C orientada contra-horário. Explicando variáveis: x e y são as coordenadas no plano; dy é a diferencial da coordenada y ao longo da curva; C é a curva fechada que delimita R.

Passo 3

Descrever a fronteira C e parametrizá-la com orientação positiva (contra-horário).
  • Primeiro, resolvemos a equação de interseção (já mostrada em Passo 1):
x^{2}-2=6-x^{2}\quad\Rightarrow\quad 2x^{2}=8\quad\Rightarrow\quad x^{2}=4\quad\Rightarrow\quad x=\pm 2.
Assim os pontos de interseção são ( -2,\,2) e (2,\,2) (pois em x=\pm2, y=2).
  • Fronteira C é composta por duas curvas:
    1. Curva superior C_{\text{top}}: y=6-x^{2}, que liga (-2,2) a (2,2).
    2. Curva inferior C_{\text{bot}}: y=x^{2}-2, que liga (2,2) de volta a (-2,2).
Para orientação contra-horário (interior à esquerda ao percorrer C):
  • Devemos percorrer a curva superior de x=2 até x=-2 (direção direita → esquerda).
  • Devemos percorrer a curva inferior de x=-2 até x=2 (direção esquerda → direita).
Parametrizações (usar a mesma letra t para a abscissa x):
  • Para C_{\text{top}}: \mathbf{r}_1(t)=(t,\,6-t^{2}) com t variando de 2 até -2.
    • Aqui x=t e dy=\dfrac{d}{dt}(6-t^{2})\,dt=-2t\,dt.
  • Para C_{\text{bot}}: \mathbf{r}_2(t)=(t,\,t^{2}-2) com t variando de -2 até 2.
    • Aqui x=t e dy=\dfrac{d}{dt}(t^{2}-2)\,dt=2t\,dt.

Passo 4

Calcular \displaystyle \oint_{C} x\,dy=\int_{C_{\text{top}}}x\,dy+\int_{C_{\text{bot}}}x\,dy usando as parametrizações.
Integral sobre C_{\text{top}}:
\int_{C_{\text{top}}} x\,dy=\int_{t=2}^{-2} t\cdot(-2t)\,dt=\int_{2}^{-2} -2t^{2}\,dt.
Trocar os limites para integrar de -2 a 2:
\int_{2}^{-2} -2t^{2}\,dt = -\int_{2}^{-2}2t^{2}\,dt = \int_{-2}^{2}2t^{2}\,dt.
Portanto
\int_{C_{\text{top}}} x\,dy = 2\int_{-2}^{2} t^{2}\,dt.
Integral sobre C_{\text{bot}}:
\int_{C_{\text{bot}}} x\,dy=\int_{t=-2}^{2} t\cdot(2t)\,dt=\int_{-2}^{2} 2t^{2}\,dt.
Somando:
\oint_{C} x\,dy = 2\int_{-2}^{2} t^{2}\,dt + 2\int_{-2}^{2} t^{2}\,dt = 4\int_{-2}^{2} t^{2}\,dt.
Calcular a integral \int_{-2}^{2} t^{2}\,dt.
  • Observação útil: t^{2} é função par; assim \int_{-2}^{2} t^{2}\,dt = 2\int_{0}^{2} t^{2}\,dt.
  • Calcule \int_{0}^{2} t^{2}\,dt = \left.\dfrac{t^{3}}{3}\right|_{0}^{2}=\dfrac{8}{3}.
  • Portanto \int_{-2}^{2} t^{2}\,dt = 2\cdot\dfrac{8}{3}=\dfrac{16}{3}.
Substituindo:
\text{Área}(R)=\oint_{C} x\,dy = 4\cdot \frac{16}{3}=\frac{64}{3}.Á
(Vale notar — como checagem rápida — que o método clássico por fatias verticais dá
\displaystyle \int_{-2}^{2}\big[(6-x^{2})-(x^{2}-2)\big]dx=\int_{-2}^{2}(8-2x^{2})dx=\frac{64}{3}, mesmo resultado.)

Resposta

\displaystyle \frac{64}{3}

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