Questão 5. (2,0 ptos.) Use o teorema de Green para calcular a área da região R limitada por y=x^{2}-2, y=6-x^{2}.
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a área da região R limitada pelas duas curvas y=x^{2}-2 e y=6-x^{2}.
Informações dadas e pontos importantes que vamos usar:
As duas curvas são parábolas: uma abre para cima (y=x^{2}-2) e outra abre para baixo (y=6-x^{2}).
Os pontos de interseção da fronteira da região R satisfazem
x^{2}-2=6-x^{2}.
A região R é a faixa entre essas duas parábolas, simétrica em relação ao eixo y, com interseções em dois pontos simétricos em x.
Passo 2
Apresentando o Teorema de Green de forma prática (a “aula” curta e útil).
Teorema de Green (caso plano): se C é a fronteira orientada positivamente (contra-horário) de uma região R simples e P(x,y),Q(x,y) têm derivadas parciais contínuas em uma vizinhança de R, então
Conclusão prática: a área de R é igual à integral de linha \oint_{C}x\,dy ao longo da fronteira C orientada contra-horário. Explicando variáveis: x e y são as coordenadas no plano; dy é a diferencial da coordenada y ao longo da curva; C é a curva fechada que delimita R.
Passo 3
Descrever a fronteira C e parametrizá-la com orientação positiva (contra-horário).
Primeiro, resolvemos a equação de interseção (já mostrada em Passo 1):
(Vale notar — como checagem rápida — que o método clássico por fatias verticais dá \displaystyle \int_{-2}^{2}\big[(6-x^{2})-(x^{2}-2)\big]dx=\int_{-2}^{2}(8-2x^{2})dx=\frac{64}{3}, mesmo resultado.)