Exercício 5. Use o Teorema do Divergente para calcular a integral de superfície \iint_{S} F \cdot d S; ou seja, calcule o fluxo de F através de S.
F(x, y, z)=x y e^{z} \mathbf{i}+x y^{2} z^{3} \mathbf{j}-y e^{z} \mathbf{k}
S é a superfície da caixa delimitada pelos planos coordenados e pelos planos x=1, y=2, z=3.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de
F(x,y,z) = x\,y\,e^{z}\,\mathbf{i} + x\,y^{2}\,z^{3}\,\mathbf{j} - y\,e^{z}\,\mathbf{k}
através da superfície S da caixa delimitada por 0\le x\le1, 0\le y\le2, 0\le z\le3.
Como queremos o fluxo total e S fecha um volume V, vamos usar o Teorema do Divergente, que diz
\iint_{S}F\cdot dS \;=\;\iiint_{V}\nabla\cdot F\,dV.

Passo 2

Calculamos a divergência de F:
\nabla\cdot F =\frac{\partial}{\partial x}(x\,y\,e^{z}) +\frac{\partial}{\partial y}(x\,y^{2}\,z^{3}) +\frac{\partial}{\partial z}(-y\,e^{z}).
Derivando, obtemos
\frac{\partial}{\partial x}(x\,y\,e^{z}) = y\,e^{z},\quad \frac{\partial}{\partial y}(x\,y^{2}\,z^{3}) = 2\,x\,y\,z^{3},\quad \frac{\partial}{\partial z}(-y\,e^{z}) = -y\,e^{z}.
Logo
\nabla\cdot F = y\,e^{z} + 2\,x\,y\,z^{3} - y\,e^{z} = 2\,x\,y\,z^{3}.

Passo 3

Pela existência de divergência simples e região retangular, aplicamos
\iint_{S}F\cdot dS =\iiint_{V}2\,x\,y\,z^{3}\,dV =\int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{2}\!\!\int_{0}^{3}2\,x\,y\,z^{3}\,dz\,dy\,dx.

Passo 4

Fazendo as integrais em ordem:
\int_{0}^{1}2\,x\,dx = \bigl[x^{2}\bigr]_{0}^{1} = 1,
\int_{0}^{2}y\,dy = \bigl[\tfrac{1}{2}y^{2}\bigr]_{0}^{2} = 2,
\int_{0}^{3}z^{3}\,dz = \bigl[\tfrac{1}{4}z^{4}\bigr]_{0}^{3} = \tfrac{81}{4}.
Multiplicando os resultados:
1 \times 2 \times \tfrac{81}{4} = \tfrac{162}{4} = \tfrac{81}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{81}{2}

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