1. Escreva a integral dupla que calcula o volume do sólido limitado pela esfera \left(x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 4\right) e para dentro do cilindro \left(x^{2}+y^{2} \leq 1\right) em:
    a) coordenadas cilíndricas
    b) coordenadas retângulares (integrando 1^{\circ} \mathrm{em} y )
    c) e calcule o volume do sólido ( escolba o sistema de coordenadas)

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido que fica dentro da esfera
x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 4
e também dentro do cilindro
x^{2}+y^{2}\le 1.
Como este sólido é obtido “recortando” a parte da esfera sobre a base circular de raio 1 no plano xy, podemos usar o método de integração dupla, em que
\text{Volume}=\iint_{D}\bigl(z_{\text{top}}-z_{\text{bot}}\bigr)\,dA
sendo D a projeção no plano xy do cilindro x^{2}+y^{2}\le1, e
z_{\text{top}}=+\sqrt{4-(x^{2}+y^{2})},\quad z_{\text{bot}}=-\sqrt{4-(x^{2}+y^{2})}.
Nos itens (a) e (b) vamos apenas escrever estas integrais nos dois sistemas, e no (c) escolhemos o sistema cilíndrico para calcular.

Passo 2

(a) Coordenadas cilíndricas. Usamos
x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad dA=r\,dr\,d\theta,
e em D temos 0\le r\le1, 0\le\theta\le2\pi. O integrando é
z_{\text{top}}-z_{\text{bot}} =2\,\sqrt{4-r^{2}}.
Logo a integral dupla é
\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{1} 2\,\sqrt{4-r^{2}}\;r\,dr\,d\theta.

Passo 3

(b) Coordenadas retangulares, integrando primeiro em y. A projeção é
-1\le x\le1,\quad -\sqrt{1-x^{2}}\le y\le\sqrt{1-x^{2}}.
O integrando continua sendo 2\sqrt{4-(x^{2}+y^{2})}. Assim
\int_{x=-1}^{1} \int_{y=-\sqrt{1-x^{2}}}^{\sqrt{1-x^{2}}} 2\,\sqrt{4-(x^{2}+y^{2})}\;dy\;dx.

Passo 4

(c) Cálculo do volume no sistema cilíndrico. Temos
V = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} 2\,\sqrt{4-r^{2}}\;r\,dr\,d\theta =2\pi\cdot 2 \int_{0}^{1}r\,\sqrt{4-r^{2}}\,dr.
Fazendo u=4-r^{2}, du=-2r\,dr, os limites vão de u(0)=4 a u(1)=3. Então
\int_{0}^{1}r\,\sqrt{4-r^{2}}\,dr =-\tfrac12\int_{4}^{3}\!u^{1/2}\,du =\tfrac12\int_{3}^{4}\!u^{1/2}\,du =\tfrac12\cdot\tfrac{2}{3}\bigl[u^{3/2}\bigr]_{3}^{4} =\tfrac{1}{3}\bigl(8-3\sqrt{3}\bigr).
Logo
V =4\pi\cdot \tfrac{1}{3}\bigl(8-3\sqrt{3}\bigr) =\frac{4\pi\,(8-3\sqrt{3})}{3} =\frac{32\pi-12\pi\sqrt{3}}{3}.

Resposta

(a)
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} 2\,\sqrt{4-r^{2}}\;r\,dr\,d\theta.
(b)
\int_{-1}^{1} \int_{-\sqrt{1-x^{2}}}^{\sqrt{1-x^{2}}} 2\,\sqrt{4-(x^{2}+y^{2})}\;dy\;dx.
(c)
V=\frac{4\pi\,(8-3\sqrt{3})}{3}.

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