- Escreva a integral dupla que calcula o volume do sólido limitado pela esfera
e para dentro do cilindro
em:
a) coordenadas cilíndricas
b) coordenadas retângulares (integrando
)
c) e calcule o volume do sólido ( escolba o sistema de coordenadas)
a) coordenadas cilíndricas
b) coordenadas retângulares (integrando
c) e calcule o volume do sólido ( escolba o sistema de coordenadas)
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido que fica dentro da esfera
e também dentro do cilindro
Como este sólido é obtido “recortando” a parte da esfera sobre a base circular de raio 1 no plano
, podemos usar o método de integração dupla, em que
sendo
a projeção no plano
do cilindro
, e
Nos itens (a) e (b) vamos apenas escrever estas integrais nos dois sistemas, e no (c) escolhemos o sistema cilíndrico para calcular.
Passo 2
(a) Coordenadas cilíndricas. Usamos
e em
temos
,
. O integrando é
Logo a integral dupla é
Passo 3
(b) Coordenadas retangulares, integrando primeiro em
. A projeção é
O integrando continua sendo
. Assim
Passo 4
(c) Cálculo do volume no sistema cilíndrico. Temos
Fazendo
,
, os limites vão de
a
. Então
Logo
Resposta
(a)
(b)
(c)