- Reescreva a integral dupla com a ordem de integração invertida
Passo 1
O enunciado pede para reescrever a integral dupla
invertendo a ordem de integração. O conteúdo é descrição da região de integração no plano
e troca de ordem usando interpretação geométrica.
Passo 2
Vamos descrever a região
O limite inferior em
é a reta
e o limite superior é a parábola
.
Passo 3
Para achar os limites em
ao inverter, encontramos o menor e o maior valor de
em
.
- Na reta
com , o mínimo ocorre em , dando . - Na parábola
com , o máximo ocorre em , dando .
Logovaria de até .
Passo 4
Para um dado
,
deve satisfazer simultaneamente
e
.
- Se
, nota-se que , então o intervalo engole . Assim - Se
, nota-se que e , então o intervalo engole na esquerda mas o relevante é . Assim
Passo 5
Com isso a integral invertida fica como soma de duas integrais sobre
: