1. Reescreva a integral dupla com a ordem de integração invertida
\int_{-1}^{1} \int_{x-1}^{1-x^{2}} e^{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} d y d x

Passo 1

O enunciado pede para reescrever a integral dupla
\int_{-1}^{1}\!\int_{x-1}^{\,1 - x^{2}}e^{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\,dy\,dx
invertendo a ordem de integração. O conteúdo é descrição da região de integração no plano xy e troca de ordem usando interpretação geométrica.

Passo 2

Vamos descrever a região
D = \{(x,y)\mid -1 \le x \le 1,\;x - 1 \le y \le 1 - x^{2}\}.
O limite inferior em y é a reta y = x - 1 e o limite superior é a parábola y = 1 - x^{2}.

Passo 3

Para achar os limites em y ao inverter, encontramos o menor e o maior valor de y em D.
  • Na reta y = x - 1 com -1\le x\le1, o mínimo ocorre em x=-1, dando y_{\min}=-2.
  • Na parábola y=1-x^{2} com -1\le x\le1, o máximo ocorre em x=0, dando y_{\max}=1.
    Logo y varia de -2 até 1.

Passo 4

Para um dado y\in[-2,1], x deve satisfazer simultaneamente
x-1\le y\quad\Longrightarrow\quad x\le y+1,
y\le 1 - x^{2}\quad\Longrightarrow\quad -\sqrt{1-y}\le x\le \sqrt{1-y},
e -1\le x\le1.
  • Se -2\le y\le0, nota-se que \sqrt{1-y}\ge1, então o intervalo [-\,\sqrt{1-y},\sqrt{1-y}] engole [-1,1]. Assim x\in[-1,\;y+1].
  • Se 0\le y\le1, nota-se que y+1\ge1 e \sqrt{1-y}\le1, então o intervalo [-1,\,y+1] engole [-1,1] na esquerda mas o relevante é [-\,\sqrt{1-y},\sqrt{1-y}]. Assim x\in[-\sqrt{1-y},\;\sqrt{1-y}].

Passo 5

Com isso a integral invertida fica como soma de duas integrais sobre y:
\int_{y=-2}^{0}\!\int_{x=-1}^{\,y+1}e^{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\,dx\,dy \;+\; \int_{y=0}^{1}\!\int_{x=-\sqrt{1-y}}^{\,\sqrt{1-y}}e^{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\,dx\,dy.

Resposta

\int_{-2}^{0}\!\int_{-1}^{\,y+1}e^{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\,dx\,dy \;+\; \int_{0}^{1}\!\int_{-\sqrt{1-y}}^{\,\sqrt{1-y}}e^{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\,dx\,dy.

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