Exercício 2. Use o teste do limite da comparação para verificar se a série converge ou diverge.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n}}{n+4}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n}}{n+4}
converge ou diverge. Informações dadas: o termo geral da série é \displaystyle a_n=\frac{\sqrt{n}}{n+4}. Não há outras restrições ou parâmetros; precisamos decidir o comportamento (convergência/divergência) dessa série infinita.

Passo 2

Intuição sobre o termo geral: para n grande, a parte dominante do numerador é \sqrt{n} e a parte dominante do denominador é n. Portanto, o termo geral se comporta aproximadamente como
\frac{\sqrt{n}}{n}=\frac{1}{\sqrt{n}}.
Por isso faz sentido comparar com a série cujos termos são
b_n=\frac{1}{\sqrt{n}}=n^{-1/2}.
Vou explicar por que escolhi b_n: quando n\to\infty só interessa a ordem de grandeza (termos dominantes). Aqui \sqrt{n} cresce mais devagar que n, então \sqrt{n}/(n+4) tem ordem n^{1/2}/n=n^{-1/2}. Essa é a ideia básica para escolher um comparador.

Passo 3

Sobre a série comparadora \sum b_n=\sum n^{-1/2}: trata-se de uma série p-série, isto é, da forma \sum n^{-p}. Conhecimento importante (teorema dos p-séries): a série \sum n^{-p} converge se, e somente se, p>1; se p\le 1 ela diverge. Aqui p=\tfrac{1}{2}\le 1, logo
\sum_{n=1}^{\infty} b_n=\sum_{n=1}^{\infty} n^{-1/2}
diverge. Vou agora usar o teste do limite da comparação para transferir essa conclusão para a série original.

Passo 4

Enunciado do teste do limite da comparação (explicado): se a_n\ge0 e b_n>0 e existe o limite finito e positivo
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}\in(0,\infty),
então as séries \sum a_n e \sum b_n têm o mesmo comportamento: ou ambas convergem ou ambas divergem. Aqui temos a_n=\dfrac{\sqrt{n}}{n+4} e b_n=\dfrac{1}{\sqrt{n}}. Vamos calcular
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{\dfrac{\sqrt{n}}{n+4}}{\dfrac{1}{\sqrt{n}}}.

Passo 5

Cálculo do limite passo a passo:
\frac{a_n}{b_n}=\frac{\dfrac{\sqrt{n}}{n+4}}{\dfrac{1}{\sqrt{n}}} =\frac{\sqrt{n}}{n+4}\cdot\sqrt{n} =\frac{n}{n+4}.
Agora calculo o limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+4}.
Para ver esse limite de forma clara, divida numerador e denominador por n:
\frac{n}{n+4}=\frac{1}{1+\frac{4}{n}}.
Quando n\to\infty temos \frac{4}{n}\to 0, portanto
\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+4}=\frac{1}{1+0}=1.
Logo o limite L existe e vale 1, que é um número finito e positivo.

Passo 6

Conclusão pelo teste do limite da comparação: como
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=1\in(0,\infty)
e já sabemos que \sum b_n=\sum n^{-1/2} diverge (porque é uma p-série com p=\tfrac{1}{2}\le1), segue que a série original \sum a_n=\sum \dfrac{\sqrt{n}}{n+4} também diverge. Extra dica para a prova: sempre procure o comportamento assintótico do termo geral (quais são os fatores dominantes) — isso costuma indicar imediatamente o bom comparador.

Resposta

A série diverge.

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