Exercício 2. Use o teste do limite da comparação para verificar se a série converge ou diverge.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a série
converge ou diverge. Informações dadas: o termo geral da série é
. Não há outras restrições ou parâmetros; precisamos decidir o comportamento (convergência/divergência) dessa série infinita.
Passo 2
Intuição sobre o termo geral: para
grande, a parte dominante do numerador é
e a parte dominante do denominador é
. Portanto, o termo geral se comporta aproximadamente como
Por isso faz sentido comparar com a série cujos termos são
Vou explicar por que escolhi
: quando
só interessa a ordem de grandeza (termos dominantes). Aqui
cresce mais devagar que
, então
tem ordem
. Essa é a ideia básica para escolher um comparador.
Passo 3
Sobre a série comparadora
: trata-se de uma série
-série, isto é, da forma
. Conhecimento importante (teorema dos
-séries): a série
converge se, e somente se,
; se
ela diverge. Aqui
, logo
diverge. Vou agora usar o teste do limite da comparação para transferir essa conclusão para a série original.
Passo 4
Enunciado do teste do limite da comparação (explicado): se
e
e existe o limite finito e positivo
então as séries
e
têm o mesmo comportamento: ou ambas convergem ou ambas divergem. Aqui temos
e
. Vamos calcular
Passo 5
Cálculo do limite passo a passo:
Agora calculo o limite quando
:
Para ver esse limite de forma clara, divida numerador e denominador por
:
Quando
temos
, portanto
Logo o limite
existe e vale
, que é um número finito e positivo.
Passo 6
Conclusão pelo teste do limite da comparação: como
e já sabemos que
diverge (porque é uma
-série com
), segue que a série original
também diverge. Extra dica para a prova: sempre procure o comportamento assintótico do termo geral (quais são os fatores dominantes) — isso costuma indicar imediatamente o bom comparador.
Resposta
A série diverge.