Exercício 2. Use o teste do limite da comparação para verificar se a série converge ou diverge.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{4 n^{3}-5 n}}

Passo 1

O enunciado pede para usar o teste do limite da comparação para verificar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{4 n^{3}-5 n}}
converge ou diverge.
Informações dadas e observações iniciais:
  • O termo geral é a_n=\dfrac{1}{\sqrt{4 n^{3}-5 n}}.
  • Para n\ge 1 o denominador \sqrt{4 n^{3}-5 n} é positivo, então a_n>0 para todo n.
  • A tarefa é aplicar o teste do limite da comparação (teste de comparação pelo limite) para decidir convergência/divergência.

Passo 2

Relembrando o que é o teste do limite da comparação (explicação didática):
  • Seja a_n e b_n duas sequências com termos positivos. Se existir o limite finito e positivo
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}\quad\text{com}\quad 0<L<\infty,
então as séries \sum a_n e \sum b_n têm o mesmo comportamento: ou ambas convergem ou ambas divergem.
  • Intuição simples: se a razão tende a um número finito e não-nulo, então a_n e b_n são, para n grande, equivalentes até um fator constante, então somam (ou não) da mesma forma.
Também usamos a informação clássica sobre séries p (útil para escolher b_n):
  • A série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{p}} converge se, e somente se, p>1. Isso é chamado de série p.

Passo 3

Escolha de uma série comparadora b_n (estratégia prática para a prova):
  • Para n grande, o termo dentro da raiz tem comportamento dominado por 4 n^{3}, porque o termo -5n é de ordem muito menor.
  • Assim, heurísticamente \sqrt{4 n^{3}-5 n}\sim \sqrt{4 n^{3}}=2 n^{3/2}.
  • Portanto a escolha natural é
b_n=\frac{1}{2 n^{3/2}},
pois \sum b_n=\dfrac{1}{2}\sum \dfrac{1}{n^{3/2}} é uma série p com p=\tfrac{3}{2}>1 (logo converge). Vamos agora aplicar o teste do limite da comparação entre a_n e b_n.

Passo 4

Cálculo do limite \displaystyle L=\lim_{n\to\infty}\dfrac{a_n}{b_n}:
\frac{a_n}{b_n} = \frac{\dfrac{1}{\sqrt{4 n^{3}-5 n}}}{\dfrac{1}{2 n^{3/2}}} = \frac{2 n^{3/2}}{\sqrt{4 n^{3}-5 n}}.
Agora fatoramos n^{3} dentro da raiz para simplificar:
\sqrt{4 n^{3}-5 n} = \sqrt{n^{3}\!\left(4-\frac{5}{n^{2}}\right)} = n^{3/2}\sqrt{4-\frac{5}{n^{2}}}.
Substituindo na razão:
\frac{a_n}{b_n} = \frac{2 n^{3/2}}{n^{3/2}\sqrt{4-\dfrac{5}{n^{2}}}} = \frac{2}{\sqrt{4-\dfrac{5}{n^{2}}}}.
Agora tomamos o limite quando n\to\infty. Como \dfrac{5}{n^{2}}\to 0, obtemos
L=\lim_{n\to\infty}\frac{2}{\sqrt{4-\dfrac{5}{n^{2}}}} = \frac{2}{\sqrt{4}}=\frac{2}{2}=1.
Portanto L=1, que é finito e positivo (está no intervalo (0,\infty)), condição necessária do teste do limite da comparação.

Passo 5

Conclusão pelo teste do limite da comparação:
  • Como \displaystyle L=1\in(0,\infty), as séries \sum a_n e \sum b_n têm o mesmo comportamento.
  • Já que b_n=\dfrac{1}{2 n^{3/2}} e \sum b_n=\dfrac{1}{2}\sum \dfrac{1}{n^{3/2}} converge (série p com p=\tfrac{3}{2}>1), segue que \sum a_n também converge.
Comentário prático para prova: o passo-chave é identificar o termo dominante dentro da raiz e escolher b_n como a versão simplificada (aqui 1/(2 n^{3/2})). Calcule a razão e verifique que o limite é um número positivo e finito; então usa-se o resultado da série p para concluir.

Resposta

A série converge.

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