Exercício 2. Use o teste do limite da comparação para verificar se a série converge ou diverge.
Passo 1
O enunciado pede para usar o teste do limite da comparação para verificar se a série
converge ou diverge.
Informações dadas e observações iniciais:
- O termo geral é
. - Para
o denominador é positivo, então para todo . - A tarefa é aplicar o teste do limite da comparação (teste de comparação pelo limite) para decidir convergência/divergência.
Passo 2
Relembrando o que é o teste do limite da comparação (explicação didática):
- Seja
e duas sequências com termos positivos. Se existir o limite finito e positivo
então as séries
e
têm o mesmo comportamento: ou ambas convergem ou ambas divergem.
- Intuição simples: se a razão tende a um número finito e não-nulo, então
e são, para grande, equivalentes até um fator constante, então somam (ou não) da mesma forma.
Também usamos a informação clássica sobre séries p (útil para escolher
):
- A série
converge se, e somente se, . Isso é chamado de série p.
Passo 3
Escolha de uma série comparadora
(estratégia prática para a prova):
- Para
grande, o termo dentro da raiz tem comportamento dominado por , porque o termo é de ordem muito menor. - Assim, heurísticamente
. - Portanto a escolha natural é
pois
é uma série p com
(logo converge). Vamos agora aplicar o teste do limite da comparação entre
e
.
Passo 4
Cálculo do limite
:
Agora fatoramos
dentro da raiz para simplificar:
Substituindo na razão:
Agora tomamos o limite quando
. Como
, obtemos
Portanto
, que é finito e positivo (está no intervalo
), condição necessária do teste do limite da comparação.
Passo 5
Conclusão pelo teste do limite da comparação:
- Como
, as séries e têm o mesmo comportamento. - Já que
e converge (série p com ), segue que também converge.
Comentário prático para prova: o passo-chave é identificar o termo dominante dentro da raiz e escolher
como a versão simplificada (aqui
). Calcule a razão e verifique que o limite é um número positivo e finito; então usa-se o resultado da série p para concluir.
Resposta
A série converge.