Questão 2[\mathbf{2 , 0} pts] Uma lâmina tem a forma da região do plano x y limitada pela semicircunferência superior x^{2}+y^{2}=4, y \geq 0 e o eixo x. Determine a massa da lâmina se a densidade de massa por área em cada ponto da lâmina é proporcional à distância do ponto à origem.
M=\iint_{D} \delta(x, y) d x d y
Passo 1
O enunciado pede a massa da lâmina cuja região D no plano xy é limitada pela semicircunferência superior x^{2}+y^{2}=4,\; y\ge 0 e pelo eixo x. Foi dada a fórmula geral
M=\iint_{D}\delta(x,y)\,dx\,dy,
e informam que a densidade superficial \delta(x,y) é proporcional à distância do ponto (x,y) à origem. As informações relevantes extraídas do enunciado são:
A região D é a semicircunferência de raio 2 no semiplano superior, ou seja, todos os pontos com \,0\le r\le 2 e \,0\le \theta\le \pi em coordenadas polares.
A densidade tem a forma \delta(x,y)=k\cdot (distância à origem), onde k é a constante de proporcionalidade (positiva). Em termos de x,y isto é \delta(x,y)=k\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
O objetivo é calcular M (em função de k) realizando a integral dupla sobre D.
Passo 2
Por que usar coordenadas polares? Vou explicar de um jeito simples: a região é uma semicircunferência (fácil de descrever com r e \theta) e a densidade depende apenas da distância ao centro (ou seja, só de r). Em coordenadas polares fazemos a mudança
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
onde r\ge 0 e \theta é o ângulo. O elemento de área em coordenadas polares não é dr\,d\theta simples: aparece o fator Jacobiano r. Ou seja,
dx\,dy = r\,dr\,d\theta.
Explicando o Jacobiano de forma intuitiva: para pequenos incrementos \Delta r e \Delta\theta a área do elemento é aproximadamente (\Delta r)\times (r\Delta\theta), daí o fator r.
Passo 3
Escrever a densidade em coordenadas polares: a distância ao origen é exatamente r, portanto
\delta(x,y)=k\sqrt{x^{2}+y^{2}} = k r.
O integrando total na integral dupla em polares é \delta(x,y)\,dx\,dy = (k r)\cdot (r\,dr\,d\theta)=k\,r^{2}\,dr\,d\theta.
Agora determinar os limites para r e \theta que descrevem D. Como D é a semicircunferência de raio 2 no semiplano superior:
Calcular a integral por partes (primeiro em r, depois em \theta), mostrando todos os passos:
Calcule \displaystyle\int_{0}^{2} r^{2}\,dr. Usando a primitiva padrão \displaystyle\int r^{2}\,dr=\frac{r^{3}}{3}, temos