1- Considerando o paramagneto ideal de N spins 1 / 2, calcule
A) o potencial químico em termos da temperatura (\mu(T));
B) o grande potencial termodinâmico por partículas em termos da temperatura e do potencial químico (\varphi(T, \mu)=\Phi(T, \mu) / N).

Passo 1

Vou organizar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda). O enunciado fala de um paramagneto ideal composto por N spins 1/2. As informações relevantes que usarei (estou assumindo o que normalmente se admite nesse problema, pois o enunciado não dá símbolos para o campo/momento, então os declaro explicitamente):
  • Cada spin tem momento magnético por partícula \mu_s e está sujeito a um campo magnético externo B.
  • Os níveis de energia de um spin são -\epsilon e +\epsilon, com \epsilon = \mu_s B. (Escolhi \mu_s para o momento magnético, para não confundir com o potencial químico \mu que vamos calcular.)
  • A temperatura é T. Defino \beta = 1/(k_B T), onde k_B é a constante de Boltzmann.
    As perguntas pedidas:
    A) Calcular o potencial químico em termos da temperatura, isto é \mu(T).
    B) Calcular o grande potencial termodinâmico por partículas \varphi(T,\mu)=\Phi(T,\mu)/N em termos de T e do potencial químico \mu (aqui \mu é o argumento livre da função, não necessariamente igual ao \mu(T) da parte A).

Passo 2

Entender o problema no nível de uma única partícula (um spin) — o passo básico.
  • Um spin 1/2 tem duas microestados com energias -\epsilon e +\epsilon, onde \epsilon=\mu_s B.
  • Em estatística canônica a probabilidade relativa de um estado de energia E é proporcional a \mathrm{e}^{-\beta E}.
  • O objetivo imediato é escrever a função de partição de um único spin Z_1, porque para sistemas de partículas não interagentes a função de partição total factoriza em potências de Z_1.

Passo 3

Calcular a função de partição de um único spin e explicar o que é \beta.
  • Definição: a função de partição de uma partícula é a soma dos fatores de Boltzmann sobre os estados possíveis.
  • Para um spin com dois níveis:
Z_1 = \mathrm{e}^{-\beta(-\epsilon)} + \mathrm{e}^{-\beta(+\epsilon)}.
  • Simplificando:
Z_1 = \mathrm{e}^{\beta\epsilon} + \mathrm{e}^{-\beta\epsilon} = 2\operatorname{cosh}(\beta\epsilon).
  • Lembrete didático: \operatorname{cosh} x = (\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x})/2. Aqui \beta = 1/(k_B T). Isso é a conta que faz a ligação entre energia dos níveis e temperatura.

Passo 4

Passar do caso de uma partícula para N spins não interagentes (assumção justificável para “paramagneto ideal”).
  • Para N spins independentes a função de partição canônica do sistema inteiro é o produto das funções de partição de cada spin:
Z_N = (Z_1)^N = \bigl(2\operatorname{cosh}(\beta\epsilon)\bigr)^N.
  • Explicação: não há interação entre spins, então cada spin contribui multiplicativamente.

Passo 5

Calcular a energia livre de Helmholtz F a partir da função de partição e recordar a relação com o potencial químico.
  • Fórmula básica: F = -k_B T \ln Z_N.
  • Substituindo Z_N:
F = -k_B T \ln\bigl((2\operatorname{cosh}(\beta\epsilon))^N\bigr) = -k_B T \, N \ln\bigl(2\operatorname{cosh}(\beta\epsilon)\bigr).
  • Defino a energia livre por partícula (função extensiva dividida por N):
f(T) \equiv \frac{F}{N} = -k_B T \ln\bigl(2\operatorname{cosh}(\beta\epsilon)\bigr).
  • Observação didática: F é extensivo (proporcional a N), por isso dividir por N dá uma função por partícula independente de N.

Passo 6

Calcular o potencial químico \mu(T) pedindo na parte A.
  • Definição termodinâmica do potencial químico (no ensemble canônico / termo termodinâmico): para um sistema extenso e homogêneo,
\mu(T) = \left(\frac{\partial F}{\partial N}\right)_{T,B}.
  • Como F é proporcional a N (veja Passo 5), a derivada é simplesmente F/N:
\mu(T) = \frac{F}{N} = f(T).
  • Substituindo f(T):
\mu(T) = -k_B T \ln\bigl(2\operatorname{cosh}(\beta\epsilon)\bigr), \qquad\text{com }\beta=\frac{1}{k_B T}\text{ e }\epsilon=\mu_s B.
  • Interpretação curta: neste modelo ideal e extensivo, o potencial químico por partícula coincide com o valor da energia livre por partícula.

Passo 7

Dar intuições limites (úteis para prova): verificar rapidamente os limites de temperatura.
  • Limite T\to\infty ( \beta\to0): \operatorname{cosh}(\beta\epsilon)\approx 1+\tfrac{1}{2}(\beta\epsilon)^2\Rightarrow \ln(2\operatorname{cosh}(\beta\epsilon))\approx\ln 2. Então
\mu(T\to\infty)\approx -k_B T \ln 2,
o que mostra que a entropia dominante dá -k_BT\ln 2 por partícula.
  • Limite T\to 0 ( \beta\to\infty): se \epsilon>0 o estado de menor energia é -\epsilon, então \operatorname{cosh}(\beta\epsilon)\approx \tfrac{1}{2}\mathrm{e}^{\beta\epsilon} e
\mu(T\to 0)\approx -k_B T \ln\bigl(2\cdot\tfrac{1}{2}\mathrm{e}^{\beta\epsilon}\bigr) = -k_B T \beta\epsilon = -\epsilon,
ou seja \mu(T\to0)\to -\epsilon. Isso faz sentido: adicionar mais uma partícula ao T muito baixo custa energia próxima à energia do estado fundamental por partícula.

Passo 8

Passar para o grande potencial \Phi e calcular \varphi(T,\mu)=\Phi/N pedida na parte B.
  • Definição termodinâmica do grande potencial (Legendre transform de F):
\Phi(T,\mu) = F - \mu\,N,
onde aqui \mu é a variável independente do ensemble grand-canonical (isto é, na parte B \mu aparece como argumento livre).
  • Dividindo por N:
\varphi(T,\mu)\equiv\frac{\Phi}{N} = \frac{F}{N} - \mu = f(T) - \mu.
  • Substituindo f(T) obtido no Passo 5:
\varphi(T,\mu) = -k_B T \ln\bigl(2\operatorname{cosh}(\beta\epsilon)\bigr) - \mu, \qquad\text{com }\epsilon=\mu_s B,\\ \beta=\frac{1}{k_B T}.
  • Observação didática: note a diferença entre o \mu(T) calculado na parte A (que é -k_B T\ln(2\operatorname{cosh}(\beta\epsilon))) e o argumento \mu da função \varphi(T,\mu). Se alguém escolher \mu=\mu(T), então \varphi=0 (o que é consistente com \Phi=F-\mu N quando \mu coincide com \partial F/\partial N).

Resposta

\displaystyle \mu(T) = -k_B T \,\ln\!\bigl(2\operatorname{cosh}(\beta\epsilon)\bigr),\quad \beta=\dfrac{1}{k_B T},\\ \epsilon=\mu_s B.\n
\displaystyle \varphi(T,\mu)=\frac{\Phi}{N} = -k_B T \,\ln\!\bigl(2\operatorname{cosh}(\beta\epsilon)\bigr)\;-\;\mu,\quad \epsilon=\mu_s B,\\ \beta=\dfrac{1}{k_B T}.

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