1- Considerando o paramagneto ideal de
spins
, calcule
A) o potencial químico em termos da temperatura
;
B) o grande potencial termodinâmico por partículas em termos da temperatura e do potencial químico
.
A) o potencial químico em termos da temperatura
B) o grande potencial termodinâmico por partículas em termos da temperatura e do potencial químico
Passo 1
Vou organizar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda). O enunciado fala de um paramagneto ideal composto por
spins
. As informações relevantes que usarei (estou assumindo o que normalmente se admite nesse problema, pois o enunciado não dá símbolos para o campo/momento, então os declaro explicitamente):
- Cada spin tem momento magnético por partícula
e está sujeito a um campo magnético externo . - Os níveis de energia de um spin são
e , com . (Escolhi para o momento magnético, para não confundir com o potencial químico que vamos calcular.) - A temperatura é
. Defino , onde é a constante de Boltzmann.
As perguntas pedidas:
A) Calcular o potencial químico em termos da temperatura, isto é.
B) Calcular o grande potencial termodinâmico por partículasem termos de e do potencial químico (aqui é o argumento livre da função, não necessariamente igual ao da parte A).
Passo 2
Entender o problema no nível de uma única partícula (um spin) — o passo básico.
- Um spin
tem duas microestados com energias e , onde . - Em estatística canônica a probabilidade relativa de um estado de energia
é proporcional a . - O objetivo imediato é escrever a função de partição de um único spin
, porque para sistemas de partículas não interagentes a função de partição total factoriza em potências de .
Passo 3
Calcular a função de partição de um único spin e explicar o que é
.
- Definição: a função de partição de uma partícula é a soma dos fatores de Boltzmann sobre os estados possíveis.
- Para um spin com dois níveis:
- Simplificando:
- Lembrete didático:
. Aqui . Isso é a conta que faz a ligação entre energia dos níveis e temperatura.
Passo 4
Passar do caso de uma partícula para
spins não interagentes (assumção justificável para “paramagneto ideal”).
- Para
spins independentes a função de partição canônica do sistema inteiro é o produto das funções de partição de cada spin:
- Explicação: não há interação entre spins, então cada spin contribui multiplicativamente.
Passo 5
Calcular a energia livre de Helmholtz
a partir da função de partição e recordar a relação com o potencial químico.
- Fórmula básica:
. - Substituindo
:
- Defino a energia livre por partícula (função extensiva dividida por
):
- Observação didática:
é extensivo (proporcional a ), por isso dividir por dá uma função por partícula independente de .
Passo 6
Calcular o potencial químico
pedindo na parte A.
- Definição termodinâmica do potencial químico (no ensemble canônico / termo termodinâmico): para um sistema extenso e homogêneo,
- Como
é proporcional a (veja Passo 5), a derivada é simplesmente :
- Substituindo
:
- Interpretação curta: neste modelo ideal e extensivo, o potencial químico por partícula coincide com o valor da energia livre por partícula.
Passo 7
Dar intuições limites (úteis para prova): verificar rapidamente os limites de temperatura.
- Limite
( ): . Então
o que mostra que a entropia dominante dá
por partícula.
- Limite
( ): se o estado de menor energia é , então e
ou seja
. Isso faz sentido: adicionar mais uma partícula ao T muito baixo custa energia próxima à energia do estado fundamental por partícula.
Passo 8
Passar para o grande potencial
e calcular
pedida na parte B.
- Definição termodinâmica do grande potencial (Legendre transform de
):
onde aqui
é a variável independente do ensemble grand-canonical (isto é, na parte B
aparece como argumento livre).
- Dividindo por
:
- Substituindo
obtido no Passo 5:
- Observação didática: note a diferença entre o
calculado na parte A (que é ) e o argumento da função . Se alguém escolher , então (o que é consistente com quando coincide com ).