Encontre os valores extremos (máximo e/ou mínimo) das seguintes funções;
f(x)=cos ^2 x-sen^2 x;

Passo 1

O enunciado pede os extremos de f(x)=cos^2x-sin^2x. Isso envolve derivar a função, achar pontos críticos e classificá-los como máximos ou mínimos. Para simplificar, primeiro vamos usar uma identidade trigonométrica.

Passo 2

Usamos a identidade do ângulo duplo:
cos2x = cos^2x - sin^2x
Logo
f(x)=cos2x

Passo 3

Agora derivamos:
f'(x)=ddx(cos2x)=-2sin2x
Pontos críticos ocorrem quando f'(x)=0, isto é sin2x=0. Então
2x=kpiRightarrow x=kpi2, kinZ

Passo 4

Para classificar, calculamos a segunda derivada:
f''(x)=ddx(-2sin2x)=-4cos2x
Em x=kpi2:
  • Se k=2m (par), então x=mpi e cos2x=cos(2mpi)=1, logo f''(x)=-4<0: ponto de máximo.
  • Se k=2m+1 (ímpar), então x=(2m+1)pi2 e cos2x=cos[(2m+1)pi]=-1, logo f''(x)=4>0: ponto de mínimo.

Passo 5

Calculando os valores de f:
  • Em x=mpi: f(x)=cos2x=1.
  • Em x=pi2+mpi: f(x)=cos2x=-1.

Resposta

Máximos: fmax=1 em x=kpi.
Mínimos: fmin=-1 em x=tfracpi2+kpi, com kinZ.

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