Exercício 4: Use a
forma do TFC para calcular a derivada das seguintes funções:
c)
c)
Passo 1
O enunciado dá a função definida para
:
e pede para calcular
.
Informações relevantes fornecidas:
- A função integranda é
. - O limite inferior da integral é
. - O limite superior da integral é
. - O domínio é
. - Pedido: encontrar a derivada
.
Passo 2
Vamos lembrar a forma do resultado que o enunciado pediu para usar (1ª forma do TFC, com comentário didático).
Se
for contínua e definirmos
então, por composição e pela 1ª forma do Teorema Fundamental do Cálculo, vale
Intuição curta: a integral de
até
é uma função de
; derivando essa composição, a derivada da integral em relação ao seu limite superior é
avaliado no limite vezes a derivada do limite (regra da cadeia).
Quando ambos os limites dependem de
, isto é, para
aplica-se a extensão:
Explicação rápida: pense em
; cada parte dá
.
Como o enunciado já pediu para usar a 1ª forma do TFC, vamos aplicá-la usando essa fórmula para limites variáveis.
Passo 3
Identificamos
,
e
no problema:
Calculamos as derivadas dos limites (passo a passo, sem pular etapas):
- Para
: - derivada de
é ; - derivada de
é .
Portanto
- derivada de
- Para
: usamos a regra do poder ( ):
Passo 4
Agora aplicamos a fórmula para ambos os limites variáveis:
Substituindo
,
e
e suas derivadas:
Simplificamos a expressão do segundo termo:
, então
. Assim o segundo termo fica
.
Passo 5
Reescrevendo a derivada de forma limpa e final:
Se quiser, pode deixar o segundo termo também como fracção única; a forma acima já está bastante explícita e conveniente para cálculo em prova.