Exercício 4: Use a 1^{\underline{\mathrm{a}}} forma do TFC para calcular a derivada das seguintes funções:
c) F(x)=\int_{\sqrt{x}}^{x^{2}+\operatorname{sen} x} \frac{1}{1+t^{2}} d t, x>0

Passo 1

O enunciado dá a função definida para x>0:
F(x)=\int_{\sqrt{x}}^{x^{2}+\operatorname{sen} x} \frac{1}{1+t^{2}}\,dt,
e pede para calcular F'(x).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função integranda é f(t)=\dfrac{1}{1+t^{2}}.
  • O limite inferior da integral é u(x)=\sqrt{x}=x^{1/2}.
  • O limite superior da integral é v(x)=x^{2}+\operatorname{sen} x.
  • O domínio é x>0.
  • Pedido: encontrar a derivada F'(x).

Passo 2

Vamos lembrar a forma do resultado que o enunciado pediu para usar (1ª forma do TFC, com comentário didático).
Se f for contínua e definirmos
G(x)=\int_{a}^{g(x)} f(t)\,dt,
então, por composição e pela 1ª forma do Teorema Fundamental do Cálculo, vale
G'(x)=f\bigl(g(x)\bigr)\,g'(x).
Intuição curta: a integral de a até g(x) é uma função de g(x); derivando essa composição, a derivada da integral em relação ao seu limite superior é f avaliado no limite vezes a derivada do limite (regra da cadeia).
Quando ambos os limites dependem de x, isto é, para
H(x)=\int_{u(x)}^{v(x)} f(t)\,dt,
aplica-se a extensão:
H'(x)=f\bigl(v(x)\bigr)\,v'(x)-f\bigl(u(x)\bigr)\,u'(x).
Explicação rápida: pense em H(x)=\int_{a}^{v(x)}f - \int_{a}^{u(x)}f; cada parte dá f(v)v' - f(u)u'.
Como o enunciado já pediu para usar a 1ª forma do TFC, vamos aplicá-la usando essa fórmula para limites variáveis.

Passo 3

Identificamos f, u e v no problema:
f(t)=\frac{1}{1+t^{2}},\qquad u(x)=\sqrt{x}=x^{1/2},\qquad v(x)=x^{2}+\operatorname{sen} x.
Calculamos as derivadas dos limites (passo a passo, sem pular etapas):
  • Para v(x)=x^{2}+\operatorname{sen} x:
    • derivada de x^{2} é 2x;
    • derivada de \operatorname{sen} x é \cos x.
      Portanto
    v'(x)=2x+\cos x.
  • Para u(x)=x^{1/2}: usamos a regra do poder ( \dfrac{d}{dx}x^{\alpha}=\alpha x^{\alpha-1}): u'(x)=\frac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula para ambos os limites variáveis:
F'(x)=f\bigl(v(x)\bigr)\,v'(x)-f\bigl(u(x)\bigr)\,u'(x).
Substituindo f(t)=\dfrac{1}{1+t^{2}}, v(x) e u(x) e suas derivadas:
F'(x)=\frac{1}{1+\bigl(x^{2}+\operatorname{sen} x\bigr)^{2}}\cdot\bigl(2x+\cos x\bigr) -\frac{1}{1+\bigl(\sqrt{x}\bigr)^{2}}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}.
Simplificamos a expressão do segundo termo: \bigl(\sqrt{x}\bigr)^{2}=x, então 1+(\sqrt{x})^{2}=1+x. Assim o segundo termo fica \dfrac{1}{2\sqrt{x}\,(1+x)}.

Passo 5

Reescrevendo a derivada de forma limpa e final:
F'(x)=\frac{2x+\cos x}{1+\bigl(x^{2}+\operatorname{sen} x\bigr)^{2}}-\frac{1}{2\sqrt{x}\,(1+x)}.
Se quiser, pode deixar o segundo termo também como fracção única; a forma acima já está bastante explícita e conveniente para cálculo em prova.

Resposta

F'(x)=\frac{2x+\cos x}{1+\bigl(x^{2}+\operatorname{sen} x\bigr)^{2}}-\frac{1}{2\sqrt{x}\,(1+x)}

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