Exercício 5: Use a
forma do TFC para calcular as integrais definidas seguintes:
a)
a)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida usando a 2ª forma do TFC. Os dados do problema são:
- Integrando:
. - Intervalo de integração: de
até .
A pergunta é: calcular.
Passo 2
Vou lembrar (e explicar) a 2ª forma do Teorema Fundamental do Cálculo de maneira direta e prática:
O que cada coisa significa:
-
é a função que estamos integrando (a integranda). -
é qualquer primitiva (antiderivada) de , isto é, uma função cuja derivada é . -
e são os limites de integração (inicio e fim).
Nota importante: sefor uma primitiva, então também é primitiva; ao calcular a constante desaparece, por isso não precisamos nos preocupar com ela na avaliação final.
Passo 3
Aplicando a ideia anterior, primeiro encontro uma primitiva
de
. Uso propriedades básicas de integrais:
- A integral é linear:
. - A regra do poder: para
,
Aplicando para
(que é
):
Portanto,
Com isso uma primitiva é
Como explicado antes, vou desprezar
na hora de avaliar porque ele cancela.
Passo 4
Avalio
no limite superior
. Substituo passo a passo:
Calculo
, então
portanto
Passo 5
Avalio
no limite inferior
. Substituo passo a passo:
Como
,
Escrevendo
com denominação
:
, então
Passo 6
Aplico a 2ª forma do TFC:
.
Substituindo os valores encontrados:
Substituindo os valores encontrados:
Coloco em denominador comum
:
Portanto o resultado exato é
. (Em decimal isso é
, caso queira visualizar.)