Exercício 5: Use a 2^{\underline{\mathrm{a}}} forma do TFC para calcular as integrais definidas seguintes:
a) \int_{-1}^{4}(7 x-3) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida usando a 2ª forma do TFC. Os dados do problema são:
  • Integrando: 7x-3.
  • Intervalo de integração: de a=-1 até b=4.
    A pergunta é: calcular \displaystyle \int_{-1}^{4}(7x-3)\,dx.

Passo 2

Vou lembrar (e explicar) a 2ª forma do Teorema Fundamental do Cálculo de maneira direta e prática:
\text{Se }F'(x)=f(x)\text{ em }[a,b],\text{ então }\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a).ã
O que cada coisa significa:
  • f(x) é a função que estamos integrando (a integranda).
  • F(x) é qualquer primitiva (antiderivada) de f, isto é, uma função cuja derivada é f.
  • a e b são os limites de integração (inicio e fim).
    Nota importante: se F for uma primitiva, então F(x)+C também é primitiva; ao calcular F(b)-F(a) a constante C desaparece, por isso não precisamos nos preocupar com ela na avaliação final.

Passo 3

Aplicando a ideia anterior, primeiro encontro uma primitiva F(x) de f(x)=7x-3. Uso propriedades básicas de integrais:
  • A integral é linear: \int (7x-3)\,dx = \int 7x\,dx - \int 3\,dx.
  • A regra do poder: para n\neq -1,
\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}.
Aplicando para x (que é x^1):
\int x\,dx = \frac{x^2}{2}.
Portanto,
\int 7x\,dx = 7\cdot\frac{x^2}{2}=\frac{7}{2}x^2, \qquad \int 3\,dx = 3x.
Com isso uma primitiva é
F(x)=\frac{7}{2}x^2-3x + C.
Como explicado antes, vou desprezar C na hora de avaliar porque ele cancela.

Passo 4

Avalio F no limite superior x=4. Substituo passo a passo:
F(4)=\frac{7}{2}\cdot 4^2 - 3\cdot 4.
Calculo 4^2=16, então
F(4)=\frac{7}{2}\cdot 16 - 12.
\frac{7}{2}\cdot 16 = 7\cdot 8 = 56,
portanto
F(4)=56-12=44.

Passo 5

Avalio F no limite inferior x=-1. Substituo passo a passo:
F(-1)=\frac{7}{2}\cdot (-1)^2 - 3\cdot(-1).
Como (-1)^2=1,
F(-1)=\frac{7}{2} + 3.
Escrevendo 3 com denominação 2: 3=\dfrac{6}{2}, então
F(-1)=\frac{7}{2}+\frac{6}{2}=\frac{13}{2}.

Passo 6

Aplico a 2ª forma do TFC: \displaystyle \int_{-1}^{4}(7x-3)\,dx = F(4)-F(-1).
Substituindo os valores encontrados:
F(4)-F(-1)=44-\frac{13}{2}.
Coloco em denominador comum 2:
44=\frac{88}{2}, \qquad \frac{88}{2}-\frac{13}{2}=\frac{75}{2}.
Portanto o resultado exato é \dfrac{75}{2}. (Em decimal isso é 37,5, caso queira visualizar.)

Resposta

\dfrac{75}{2}

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