Exercício 5: Use a 2^{\underline{\mathrm{a}}} forma do TFC para calcular as integrais definidas seguintes:
c) \int_{-3}^{2}\left|x-x^{3}\right| d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral definida
\int_{-3}^{2}\left|x-x^{3}\right|\,dx.
Informações dadas e objetivos claros:
  • A função integranda é \left|x-x^{3}\right|.
  • O intervalo de integração é de x=-3 até x=2.
  • Foi solicitado usar a 2ª forma do Teorema Fundamental do Cálculo (isto diz que, se F é uma primitiva de f, então \int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a)).
  • Precisamos cuidar do valor absoluto, ou seja, identificar onde x-x^{3} é positivo ou negativo dentro de [-3,2] e quebrar a integral nesses pontos.

Passo 2

Encontrar os zeros de x-x^{3} (pontos onde o sinal pode mudar).
Fatorando:
x-x^{3}=x(1-x^{2})=x(1-x)(1+x).
Portanto as raízes são x=0, x=1 e x=-1. Todas estão no intervalo [-3,2]. Assim vamos dividir o intervalo em subintervalos nos quais o sinal da expressão é constante:
[-3,-1],\quad [-1,0],\quad [0,1],\quad [1,2].

Passo 3

Determinar o sinal de x-x^{3} em cada subintervalo (teste por pontos):
  • Em (-3,-1): tomar x=-2. Calcula-se -2-(-8)=6>0. Logo positivo nesse intervalo.
  • Em (-1,0): tomar x=-\tfrac12. Calcula-se -\tfrac12-(-\tfrac18)=-\tfrac38<0. Logo negativo nesse intervalo.
  • Em (0,1): tomar x=\tfrac12. Calcula-se \tfrac12-\tfrac18=\tfrac38>0. Logo positivo nesse intervalo.
  • Em (1,2): tomar x=\tfrac32. Calcula-se \tfrac32-(\tfrac{27}{8})=-\tfrac{15}{8}<0. Logo negativo nesse intervalo.
Com isso escrevemos a integranda sem valor absoluto como expressão por partes:
|x-x^{3}|=\begin{cases} x-x^{3}, & x\in[-3,-1],\\[4pt] -(x-x^{3}), & x\in[-1,0],\\[4pt] x-x^{3}, & x\in[0,1],\\[4pt] -(x-x^{3}), & x\in[1,2]. \end{cases}]

Passo 4

Aplicar a 2ª forma do Teorema Fundamental do Cálculo (TFC2) e calcular primitiva.
Explicação curta do TFC2: se f é contínua em [a,b] e F é uma primitiva de f (ou seja, F'(x)=f(x) para todo x em [a,b]), então
\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a).
Aqui a variável x é a variável de integração (um número real no intervalo dado) e F é qualquer função cuja derivada seja f.
Calcular uma primitiva de x-x^{3}:
\int (x-x^{3})\,dx = \frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{4}}{4} + C.
Anotar que a primitiva de -(x-x^3) é o negativo disso:
\int -(x-x^{3})\,dx = -\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{4} + C.

Passo 5

Calcular as integrais em cada subintervalo usando as primitivas e o TFC2.
  1. Para [-3,-1], integrando x-x^{3}:
\int_{-3}^{-1}(x-x^{3})\,dx =\Big[\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{4}}{4}\Big]_{-3}^{-1}.
Avaliar:
\Big(\frac{(-1)^{2}}{2}-\frac{(-1)^{4}}{4}\Big)-\Big(\frac{(-3)^{2}}{2}-\frac{(-3)^{4}}{4}\Big) =\Big(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\Big)-\Big(\frac{9}{2}-\frac{81}{4}\Big).
Calcular cada termo:
\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}, \qquad \frac{9}{2}-\frac{81}{4}=\frac{18}{4}-\frac{81}{4}=-\frac{63}{4}.
Subtraindo:
\frac{1}{4}-\left(-\frac{63}{4}\right)=\frac{64}{4}=16.
Portanto o primeiro pedaço vale 16.
  1. Para [-1,0], integrando -(x-x^{3}):
\int_{-1}^{0}-(x-x^{3})\,dx =\Big[-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{4}\Big]_{-1}^{0}.
Avaliar:
\Big(0\Big)-\Big(-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\Big)= -\left(-\frac{1}{4}\right)=\frac{1}{4}.
  1. Para [0,1], integrando x-x^{3}:
\int_{0}^{1}(x-x^{3})\,dx =\Big[\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{4}}{4}\Big]_{0}^{1} =\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\right)-0=\frac{1}{4}.
  1. Para [1,2], integrando -(x-x^{3}):
\int_{1}^{2}-(x-x^{3})\,dx =\Big[-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{4}\Big]_{1}^{2}.
Avaliar:
\left(-\frac{4}{2}+\frac{16}{4}\right)-\left(-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right) =\left(-2+4\right)-\left(-\frac{1}{4}\right)=2+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}.

Passo 6

Somar os quatro resultados para obter a integral total:
16+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{9}{4} =16+\frac{1+1+9}{4}=16+\frac{11}{4}=\frac{64}{4}+\frac{11}{4}=\frac{75}{4}.
Como decimal (uso a vírgula como separador decimal): \frac{75}{4}=18,75.

Resposta

\dfrac{75}{4}

Exercícios relacionados