Exercício 5: Use a 2^{\underline{\mathrm{a}}} forma do TFC para calcular as integrais definidas seguintes:
c) \int_{-3}^{2}\left|x-x^{3}\right| d x
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral definida
\int_{-3}^{2}\left|x-x^{3}\right|\,dx.
Informações dadas e objetivos claros:
A função integranda é \left|x-x^{3}\right|.
O intervalo de integração é de x=-3 até x=2.
Foi solicitado usar a 2ª forma do Teorema Fundamental do Cálculo (isto diz que, se F é uma primitiva de f, então \int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a)).
Precisamos cuidar do valor absoluto, ou seja, identificar onde x-x^{3} é positivo ou negativo dentro de [-3,2] e quebrar a integral nesses pontos.
Passo 2
Encontrar os zeros de x-x^{3} (pontos onde o sinal pode mudar).
Fatorando:
x-x^{3}=x(1-x^{2})=x(1-x)(1+x).
Portanto as raízes são x=0, x=1 e x=-1. Todas estão no intervalo [-3,2]. Assim vamos dividir o intervalo em subintervalos nos quais o sinal da expressão é constante:
[-3,-1],\quad [-1,0],\quad [0,1],\quad [1,2].
Passo 3
Determinar o sinal de x-x^{3} em cada subintervalo (teste por pontos):
Em (-3,-1): tomar x=-2. Calcula-se -2-(-8)=6>0. Logo positivo nesse intervalo.
Em (-1,0): tomar x=-\tfrac12. Calcula-se -\tfrac12-(-\tfrac18)=-\tfrac38<0. Logo negativo nesse intervalo.
Em (0,1): tomar x=\tfrac12. Calcula-se \tfrac12-\tfrac18=\tfrac38>0. Logo positivo nesse intervalo.
Em (1,2): tomar x=\tfrac32. Calcula-se \tfrac32-(\tfrac{27}{8})=-\tfrac{15}{8}<0. Logo negativo nesse intervalo.
Com isso escrevemos a integranda sem valor absoluto como expressão por partes:
Aplicar a 2ª forma do Teorema Fundamental do Cálculo (TFC2) e calcular primitiva.
Explicação curta do TFC2: se f é contínua em [a,b] e F é uma primitiva de f (ou seja, F'(x)=f(x) para todo x em [a,b]), então
\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a).
Aqui a variável x é a variável de integração (um número real no intervalo dado) e F é qualquer função cuja derivada seja f.
Calcular uma primitiva de x-x^{3}:
\int (x-x^{3})\,dx = \frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{4}}{4} + C.
Anotar que a primitiva de -(x-x^3) é o negativo disso:
\int -(x-x^{3})\,dx = -\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{4} + C.
Passo 5
Calcular as integrais em cada subintervalo usando as primitivas e o TFC2.