Exercício 5: Use a 2^{\underline{\mathrm{a}}} forma do TFC para calcular as integrais definidas seguintes:
b) \int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} 6 \operatorname{sec} ^{2} \theta d \theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} 6\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta.
Informações dadas:
  • O integrando é 6\operatorname{sec}^{2}\theta.
  • Os limites de integração são a=-\dfrac{\pi}{6} e b=\dfrac{\pi}{4}.
  • A tarefa é usar a segunda forma do Teorema Fundamental do Cálculo (TFC).

Passo 2

Vou enunciar a segunda forma do TFC e explicar o que cada símbolo significa.
\text{Se }f\text{ for contínua em }[a,b]\text{ e }F\text{ for uma primitiva de }f\text{ em }[a,b],\text{ então } \int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a).íã
Explicando: f é a função que estamos integrando; dizer que F é uma primitiva de f significa que F'(x)=f(x) para todo x em [a,b]. A hipótese de continuidade garante que tal primitiva existe e que a fórmula acima vale.

Passo 3

Identificar uma primitiva de f(\theta)=6\operatorname{sec}^{2}\theta.
  • Sabemos que a derivada da função \tan\theta é \operatorname{sec}^{2}\theta. Uma rápida derivação para lembrar por que isso é verdade:
\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\quad\Rightarrow\quad \frac{d}{d\theta}\tan\theta=\frac{\cos\theta\cdot\cos\theta - \sin\theta\cdot(-\sin\theta)}{\cos^{2}\theta} =\frac{\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta}{\cos^{2}\theta}=\frac{1}{\cos^{2}\theta}=\operatorname{sec}^{2}\theta.
  • Portanto uma primitiva de \operatorname{sec}^{2}\theta é \tan\theta. Assim uma primitiva de 6\operatorname{sec}^{2}\theta é 6\tan\theta (multiplicação por constante passa para fora/interno da primitiva).

Passo 4

Verificar hipóteses de continuidade para aplicar o TFC: \operatorname{sec}^{2}\theta é contínua sempre que \cos\theta\neq 0. No intervalo \left[-\dfrac{\pi}{6},\dfrac{\pi}{4}\right] temos
\cos\!\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)=\cos\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\neq 0,\qquad \cos\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\neq 0,
e como o intervalo está contido em \left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right) não há zeros de \cos nele. Logo \operatorname{sec}^{2}\theta (e 6\operatorname{sec}^{2}\theta) é contínua no intervalo e podemos aplicar o TFC.

Passo 5

Aplicar o TFC com a primitiva F(\theta)=6\tan\theta:
\int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} 6\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta = 6\tan\theta\Big|_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} =6\big(\tan\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)-\tan\!\left(-\tfrac{\pi}{6}\right)\big).
Calcular os valores das tangentes:
\tan\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)=1,\qquad \tan\!\left(-\tfrac{\pi}{6}\right)=-\tan\!\left(\tfrac{\pi}{6}\right)=-\frac{1}{\sqrt{3}}.
Substituindo:
6\big(1-(-\tfrac{1}{\sqrt{3}})\big)=6\Big(1+\frac{1}{\sqrt{3}}\Big)=6+\frac{6}{\sqrt{3}}.

Passo 6

Simplificar \dfrac{6}{\sqrt{3}}:
\frac{6}{\sqrt{3}}=\frac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}.
Portanto o resultado final é
6+2\sqrt{3}.
Como verificação aproximada, 2\sqrt{3}\approx 3{,}464, então a integral vale aproximadamente 9{,}464.

Resposta

6+2\sqrt{3}

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