Exercício 5: Use a 2^{\underline{\mathrm{a}}} forma do TFC para calcular as integrais definidas seguintes:
b) \int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} 6 \operatorname{sec} ^{2} \theta d \theta
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Os limites de integração são a=-\dfrac{\pi}{6} e b=\dfrac{\pi}{4}.
A tarefa é usar a segunda forma do Teorema Fundamental do Cálculo (TFC).
Passo 2
Vou enunciar a segunda forma do TFC e explicar o que cada símbolo significa.
\text{Se }f\text{ for contínua em }[a,b]\text{ e }F\text{ for uma primitiva de }f\text{ em }[a,b],\text{ então } \int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a).
Explicando: f é a função que estamos integrando; dizer que F é uma primitiva de f significa que F'(x)=f(x) para todo x em [a,b]. A hipótese de continuidade garante que tal primitiva existe e que a fórmula acima vale.
Passo 3
Identificar uma primitiva de f(\theta)=6\operatorname{sec}^{2}\theta.
Sabemos que a derivada da função \tan\theta é \operatorname{sec}^{2}\theta. Uma rápida derivação para lembrar por que isso é verdade:
Portanto uma primitiva de \operatorname{sec}^{2}\theta é \tan\theta. Assim uma primitiva de 6\operatorname{sec}^{2}\theta é 6\tan\theta (multiplicação por constante passa para fora/interno da primitiva).
Passo 4
Verificar hipóteses de continuidade para aplicar o TFC: \operatorname{sec}^{2}\theta é contínua sempre que \cos\theta\neq 0. No intervalo \left[-\dfrac{\pi}{6},\dfrac{\pi}{4}\right] temos
e como o intervalo está contido em \left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right) não há zeros de \cos nele. Logo \operatorname{sec}^{2}\theta (e 6\operatorname{sec}^{2}\theta) é contínua no intervalo e podemos aplicar o TFC.
Passo 5
Aplicar o TFC com a primitiva F(\theta)=6\tan\theta: