Exercício 4: Use a
forma do TFC para calcular a derivada das seguintes funções:
d)
.
d)
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular
usando a 1ª forma do Teorema Fundamental do Cálculo (TFC). Informações úteis extraídas do enunciado:
- A função sob a integral é
. - O limite inferior é
. - O limite superior é
. - Domínio:
(isso garante bem definido e positivo).
Passo 2
Primeiro passo técnico: notar que
é produto de duas funções de
:
e a integral. Logo vamos usar a regra do produto. A regra do produto diz que, se
e
são diferenciáveis, então
Aqui podemos tomar
e
, onde definimos
Aplicando a regra do produto teremos
Vou agora calcular
usando a 1ª forma do TFC (para integrais com limites que dependem de
).
Passo 3
Lembrete da 1ª forma do TFC para limites variáveis: se
é contínua e
são diferenciáveis, então
Uma forma rápida de ver isso é escrever a integral como
e aplicar o TFC simples mais a regra da cadeia. Vou aplicar exatamente essa fórmula com
,
e
.
Passo 4
Calcular as derivadas dos limites e os valores de
nesses pontos:
- Derivada do limite superior:
- Derivada do limite inferior:
- Avaliar
em :
- Avaliar
em . Como , tem , então
Passo 5
Aplicando a fórmula do Passo 3, obtemos
:
Passo 6
Agora substituímos
e
na expressão da regra do produto obtida no Passo 2:
Essa é a expressão final para
. (Nota: toda a manipulação foi feita com os passos básicos — regra do produto, 1ª forma do TFC e derivação de funções elementares — e o domínio
garante que não houve problemas com
.)