Exercício 4: Use a 1^{\underline{\mathrm{a}}} forma do TFC para calcular a derivada das seguintes funções:
d) G(x)=x^{2} \cdot \int_{\sqrt{x}}^{x^{2}+\operatorname{sen} x} \frac{1}{1+t^{2}} d t, x>0.

Passo 1

O enunciado dá a função
G(x)=x^{2}\cdot\int_{\sqrt{x}}^{\,x^{2}+\operatorname{sen}x}\frac{1}{1+t^{2}}\,dt,\qquad x>0,
e pede para calcular G'(x) usando a 1ª forma do Teorema Fundamental do Cálculo (TFC). Informações úteis extraídas do enunciado:
  • A função sob a integral é f(t)=\dfrac{1}{1+t^{2}}.
  • O limite inferior é a(x)=\sqrt{x}.
  • O limite superior é b(x)=x^{2}+\operatorname{sen}x.
  • Domínio: x>0 (isso garante \sqrt{x} bem definido e positivo).

Passo 2

Primeiro passo técnico: notar que G(x) é produto de duas funções de x: x^{2} e a integral. Logo vamos usar a regra do produto. A regra do produto diz que, se u(x) e v(x) são diferenciáveis, então
\frac{d}{dx}\big(u(x)v(x)\big)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Aqui podemos tomar u(x)=x^{2} e v(x)=I(x), onde definimos
I(x)=\int_{\sqrt{x}}^{\,x^{2}+\operatorname{sen}x}\frac{1}{1+t^{2}}\,dt.
Aplicando a regra do produto teremos
G'(x)=2x\cdot I(x)+x^{2}\cdot I'(x).
Vou agora calcular I'(x) usando a 1ª forma do TFC (para integrais com limites que dependem de x).

Passo 3

Lembrete da 1ª forma do TFC para limites variáveis: se f é contínua e u(x),v(x) são diferenciáveis, então
\frac{d}{dx}\left(\int_{u(x)}^{v(x)} f(t)\,dt\right)=f\big(v(x)\big)\,v'(x)-f\big(u(x)\big)\,u'(x).
Uma forma rápida de ver isso é escrever a integral como \int_{c}^{v(x)}f-\int_{c}^{u(x)}f e aplicar o TFC simples mais a regra da cadeia. Vou aplicar exatamente essa fórmula com f(t)=\dfrac{1}{1+t^{2}}, u(x)=\sqrt{x} e v(x)=x^{2}+\operatorname{sen}x.

Passo 4

Calcular as derivadas dos limites e os valores de f nesses pontos:
  • Derivada do limite superior:
v(x)=x^{2}+\operatorname{sen}x\quad\Rightarrow\quad v'(x)=2x+\cos x.
  • Derivada do limite inferior:
u(x)=\sqrt{x}=x^{1/2}\quad\Rightarrow\quad u'(x)=\frac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}\quad(\text{válido pois }x>0).á
  • Avaliar f em v(x):
f\big(v(x)\big)=\frac{1}{1+\big(x^{2}+\operatorname{sen}x\big)^{2}}.
  • Avaliar f em u(x). Como u(x)=\sqrt{x}, tem (\sqrt{x})^{2}=x, então
f\big(u(x)\big)=\frac{1}{1+(\sqrt{x})^{2}}=\frac{1}{1+x}.

Passo 5

Aplicando a fórmula do Passo 3, obtemos I'(x):
I'(x) = \frac{1}{1+\big(x^{2}+\operatorname{sen}x\big)^{2}}\cdot\big(2x+\cos x\big) - \frac{1}{1+x}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}.

Passo 6

Agora substituímos I(x) e I'(x) na expressão da regra do produto obtida no Passo 2:
G'(x)=2x\cdot\int_{\sqrt{x}}^{\,x^{2}+\operatorname{sen}x}\frac{1}{1+t^{2}}\,dt + x^{2}\left[ \frac{2x+\cos x}{1+\big(x^{2}+\operatorname{sen}x\big)^{2}} - \frac{1}{2\sqrt{x}\,(1+x)} \right].
Essa é a expressão final para G'(x). (Nota: toda a manipulação foi feita com os passos básicos — regra do produto, 1ª forma do TFC e derivação de funções elementares — e o domínio x>0 garante que não houve problemas com \sqrt{x}.)

Resposta

G'(x)=2x\int_{\sqrt{x}}^{\,x^{2}+\operatorname{sen}x}\frac{1}{1+t^{2}}\,dt + x^{2}\left(\frac{2x+\cos x}{1+\big(x^{2}+\operatorname{sen}x\big)^{2}}-\frac{1}{2\sqrt{x}\,(1+x)}\right)

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