Exercício 3.6.4. Utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo, calcule:
Ic=integral1^5 raizx-1x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
Ic=integral1^5raizx-1x,dx
usando o Teorema Fundamental do Cálculo. Vamos precisar fazer uma mudança de variável para simplificar a raiz e depois aplicar o TFC.

Passo 2

Fazemos a substituição
u=raizx-1Longrightarrow x=u^2+1, dx=2u,du
Quando x=1 temos u=0 e quando x=5 temos u=2.

Passo 3

Em termos de u, o integrando fica
raizx-1x,dx =uu^2+1cdot(2u,du) =2u^2u^2+1,du

Passo 4

Escrevemos
2u^2u^2+1 =2;u^2+1-1u^2+1 =2;-;2u^2+1,
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integral0^22u^2u^2+1,du =integral0^2l(2-2u^2+1r),du =l[2u-2arctan(u)r]0^2

Passo 5

Aplicando os limites:
l[2u-2arctan(u)r]0^2 =l(4-2arctan(2)r)-l(0-2arctan(0)r) =4-2arctan(2)

Resposta

Ic=4-2arctan(2)

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