Exercício 3.6.4. Utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo, calcule:
Id=integral0^1 x e^2 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral0^1 x e^2x,dx usando o Teorema Fundamental do Cálculo. Para isso, precisamos encontrar uma primitiva de x e^2x aplicando integração por partes e depois avaliar essa primitiva entre 0 e 1.

Passo 2

Escolhemos u = x e dv = e^2x,dx. Então temos
du = dx, v = integral e^2x,dx = 12e^2x
Pela fórmula de integração por partes,
integral x e^2x,dx = u,v - integral v,du = x2e^2x - integral 12e^2x,dx = x2e^2x - 14e^2x + C = e^2xl(x2 - 14r) + C
Agora aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo para avaliar de 0 a 1:
Id = integral0^1 x e^2x,dx = l[e^2xl(tfracx2 - tfrac14r)r]0^1 = e^2l(tfrac12 - tfrac14r) - e^0l(0 - tfrac14r) = e^24 + 14 = e^2 + 14

Resposta

Id = e^2 + 14

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