Exercício 3.6.4. Utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo, calcule:
Ih=integral0^1(2 x+3)^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
Ih=integral0^1(2x+3)^2,dx
usando o Teorema Fundamental do Cálculo, que diz que
integrala^bf(x),dx=F(b)-F(a)
onde F é uma antiderivada de f. Aqui vamos usar substituição para encontrar F.

Passo 2

Fazemos a mudança de variável
u = 2x + 3, du = 2,dx Longrightarrow dx = du2
Quando x=0, u=2cdot0+3=3. Quando x=1, u=2cdot1+3=5. Assim
integral0^1(2x+3)^2,dx = integralu=3^u=5u^2,du2 = 12integral3^5u^2,du

Passo 3

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo à integral em u, sabemos que
integral u^2,du = u^33
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12integral3^5u^2,du = 12l[u^33r]3^5 = 12cdot13l(5^3-3^3r) = 16(125-27) = 986 = 493

Resposta

Ih=493

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