Exercício 3.6.4. Utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo, calcule:
Ij=integralpi2^pi-cos (x) d x

Passo 1

Beleza, o exercício pede para calcular a integral
integralpi2^pi -cos(x),dx.
O conteúdo aqui é o Teorema Fundamental do Cálculo, que liga derivadas e integrais, e vamos precisar achar um antiderivado de -cos(x).

Passo 2

Pra achar o antiderivado de f(x)=-cos(x), lembramos que a derivada de sin(x) é cos(x). Então a derivada de -sin(x) é -cos(x). Logo, uma antiderivada é
F(x) = -sin(x)

Passo 3

O Teorema Fundamental do Cálculo diz que
integrala^b f(x),dx = F(b) - F(a)
Aqui temos a=pi2 e b=pi, então
integralpi2^pi -cos(x),dx = F(pi) - F!l(tfracpi2r)

Passo 4

Basta agora avaliar em cada extremo:
F(pi) = -sin(pi) = 0,
F!l(tfracpi2r) = -sin!l(tfracpi2r) = -1
Portanto,
integralpi2^pi -cos(x),dx = 0 - (-1) = 1

Resposta

Ij = 1

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