- Seja
. Determinar: (a) os pontos críticos de
, (b) os intervalos onde a função é côncava para cima ou para baixo, (c) os pontos de máximo, de mínimo ou de inflexão. (d) Construir um esboço do gráfico de
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede: (a) pontos críticos, (b) intervalos de concavidade, (c) classificação de extremos e inflexões, (d) esboço do gráfico. Vamos usar derivadas primeira e segunda para achar essas informações.
Passo 2
Calculamos a derivada primeira
Os pontos críticos são as raízes de
, logo
Passo 3
Calculamos a derivada segunda
Resolvendo
obtemos
isto é
e
. Como o coeficiente de
em
é positivo, conclui-se que
para e
temos
(concavidade para cima), e no intervalo entre essas raízes
(concavidade para baixo).
para
Passo 4
Para classificar extremos, analisamos o sinal de
em cada intervalo:
- Em
, escolhemos : (decrescente). - Em
, escolhemos : (crescente) mínimo em . - Em
, escolhemos : (decrescente) máximo em . - Em
, escolhemos : (crescente) mínimo em .
Calculamos os valores:
Passo 5
Os pontos de inflexão ocorrem onde
, ou seja em
Seus valores são
Passo 6
Para esboçar o gráfico, notamos que é um polinômio de grau
com coeficiente líder positivo, logo
quando
. Marcamos:
mínimo,
máximo,
mínimo,
e
como pontos de inflexão, e ligamos suavemente respeitando concavidades.
Resposta
(a)
.
(b) Concava para cima em e em
; concava para baixo em
.
(c) Máximos e mínimos: mínimo em , máximo em
, mínimo em
; pontos de inflexão em
.
(d) Esboço: entorna para nas extremidades, passa pelos pontos acima com a concavidade indicada.
(b) Concava para cima em
(c) Máximos e mínimos: mínimo em
(d) Esboço: entorna para