1. Seja f(x)=x^4+43 x^3-4 x^2. Determinar: (a) os pontos críticos de f, (b) os intervalos onde a função é côncava para cima ou para baixo, (c) os pontos de máximo, de mínimo ou de inflexão. (d) Construir um esboço do gráfico de f.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x^4+43x^3-4x^2
e pede: (a) pontos críticos, (b) intervalos de concavidade, (c) classificação de extremos e inflexões, (d) esboço do gráfico. Vamos usar derivadas primeira e segunda para achar essas informações.

Passo 2

Calculamos a derivada primeira
f'(x)=4x^3+4x^2-8x=4xl(x^2+x-2r)=4x(x+2)(x-1)
Os pontos críticos são as raízes de f'(x)=0, logo
x=0, x=-2, x=1

Passo 3

Calculamos a derivada segunda
f''(x)=ddxl(4x^3+4x^2-8xr)=12x^2+8x-8=4l(3x^2+2x-2r)
Resolvendo 3x^2+2x-2=0 obtemos
x=-2pmraiz4+246=-2pm2raiz76=-1pmraiz73,
isto é xapprox-1,215 e xapprox0,549. Como o coeficiente de x^2 em f'' é positivo, conclui-se que
para x<tfrac-1-raiz73 e x>tfrac-1+raiz73 temos f''(x)>0 (concavidade para cima), e no intervalo entre essas raízes f''(x)<0 (concavidade para baixo).

Passo 4

Para classificar extremos, analisamos o sinal de f'(x) em cada intervalo:
  • Em x<-2, escolhemos x=-3: f'(-3)<0 (decrescente).
  • Em -2<x<0, escolhemos x=-1: f'(-1)>0 (crescente) Rightarrow mínimo em x=-2.
  • Em 0<x<1, escolhemos x=0,5: f'(0,5)<0 (decrescente) Rightarrow máximo em x=0.
  • Em x>1, escolhemos x=2: f'(2)>0 (crescente) Rightarrow mínimo em x=1.
    Calculamos os valores:
f(-2)=(-2)^4+tfrac43(-2)^3-4(-2)^2=16-tfrac323-16=-tfrac323,
f(0)=0, f(1)=1+tfrac43-4=-tfrac53

Passo 5

Os pontos de inflexão ocorrem onde f''(x)=0, ou seja em
x1=-1-raiz73, x2=-1+raiz73
Seus valores são
fl(x1r)approx-6,136, fl(x2r)approx-0,895

Passo 6

Para esboçar o gráfico, notamos que é um polinômio de grau 4 com coeficiente líder positivo, logo f(x)to+infty quando xtopminfty. Marcamos:
l(-2,-tfrac323r) mínimo,
(0,0) máximo,
l(1,-tfrac53r) mínimo,
l(tfrac-1-raiz73,-6,136r) e l(tfrac-1+raiz73,-0,895r) como pontos de inflexão, e ligamos suavemente respeitando concavidades.

Resposta

(a) x=-2,,0,,1.
(b) Concava para cima em x<tfrac-1-raiz73 e em x>tfrac-1+raiz73; concava para baixo em tfrac-1-raiz73<x<tfrac-1+raiz73.
(c) Máximos e mínimos: mínimo em l(-2,-tfrac323r), máximo em (0,0), mínimo em l(1,-tfrac53r); pontos de inflexão em l(tfrac-1pmraiz73,,fr).
(d) Esboço: entorna para +infty nas extremidades, passa pelos pontos acima com a concavidade indicada.

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