Sejam um intervalo de com e uma função injetora tal que ( ) é solução da equação , para todo . Seja a inversa de . Supondo que e são funções deriváveis, determine a equação da reta tangente ao gráfico de no ponto de abscissa -1.
Passo 1
O enunciado nos dá uma função injetora definida implicitamente pela equação
onde e . Queremos a reta tangente ao gráfico de no ponto de abscissa . Para isso vamos (i) achar o ponto , (ii) usar a relação e (iii) obter por diferenciação implícita.
Passo 2
Precisamos achar tal que . No caso resolve
Logo e, invertendo, . O ponto de tangência no gráfico de é .
Passo 3
Para achar usamos diferenciação implícita em
Derivando em relação a vem
Passo 4
Calculamos as derivadas parciais de em :
Em temos e , então
partial Fpartial yg|(0,-1) =5cdot1 +1 +0 =6
Logo
f'(0)=--56=56,
e pela fórmula da inversa
g'(-1)=1f'(0)=65
Passo 5
A reta tangente ao gráfico de g no ponto l(-1,0r) com coeficiente angular m=g'(-1)=6/5 satisfaz