Sejam I um intervalo de R com 0 in I e f: I R uma função injetora tal que ( x, f(x) ) é solução da equação y^5+y e^x+3 x e^y+1+2=7 sen x, para todo x in I. Seja g a inversa de f. Supondo que f e g são funções deriváveis, determine a equação da reta tangente ao gráfico de g no ponto de abscissa -1.

Passo 1

O enunciado nos dá uma função injetora fcolon ItoR definida implicitamente pela equação
F(x,y)equiv y^5+y,e^x+3x,e^y+1+2-7sin x=0,
onde y=f(x) e 0in I. Queremos a reta tangente ao gráfico de g=f^-1 no ponto de abscissa -1. Para isso vamos (i) achar o ponto (-1,g(-1)), (ii) usar a relação g'(-1)=1/f'(x0) e (iii) obter f'(x0) por diferenciação implícita.

Passo 2

Precisamos achar x0 tal que f(x0)=-1. No caso x0=0 resolve
F(0,y)=y^5+y+2=0Longrightarrow y=-1
Logo f(0)=-1 e, invertendo, g(-1)=0. O ponto de tangência no gráfico de g é (-1,0).

Passo 3

Para achar f'(x) usamos diferenciação implícita em
Fl(x,f(x)r)=0
Derivando em relação a x vem
partial Fpartial x + partial Fpartial y,f'(x)=0 Longrightarrow f'(x)=-,partial F/partial xpartial F/partial y

Passo 4

Calculamos as derivadas parciais de F em (x,y)=(0,-1):
partial Fpartial x = y,e^x + 3,e^y+1 - 7cos x,
partial Fpartial y =5,y^4+e^x+3x,e^y+1
Em (0,-1) temos e^0=1 e e^y+1=e^0=1, então
partial Fpartial xg|(0,-1) = (-1)cdot1 +3cdot1 -7cdot1 = -5,
partial Fpartial yg|(0,-1) =5cdot1 +1 +0 =6
Logo
f'(0)=--56=56,
e pela fórmula da inversa
g'(-1)=1f'(0)=65

Passo 5

A reta tangente ao gráfico de g no ponto l(-1,0r) com coeficiente angular m=g'(-1)=6/5 satisfaz
y-0=65l(x-(-1)r) Longrightarrow y=65(x+1)

Resposta

A equação da reta tangente é
y=65x+65

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