Exercício 3 Utilizar coordenadas polares para calcular as integrais indicadas. Esboçar a região que fornece o domínio de integração em cada caso.
integral duplaD e^x^2+y^2 d x d y, onde R é a região limitada pelas circunferências x^2+y^2=4 e x^2+y^2=9.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral duplaD e^x^2+y^2,dx,dy
onde D é a região no plano limitada pelas circunferências x^2+y^2=4 e x^2+y^2=9. O conteúdo principal aqui é a mudança para coordenadas polares, em que
x = rcostheta, y = rsintheta,
e o elemento de área transforma-se como dx,dy = r,dr,dtheta.

Passo 2

Em coordenadas polares a região D vira um anel (uma “casca circular”) centrado na origem, com raio interno 2 e externo 3. Assim:
0 <= theta <= 2pi, 2 <= r <= 3
(esboço mental: um anel entre os círculos de raio 2 e 3.)

Passo 3

Reescrevendo a integral em polares:
integral duplaD e^x^2+y^2,dx,dy = integral0^2pi!integral2^3 e^r^2;r,dr,dtheta

Passo 4

Calculemos primeiro a integral interna em r:
integral2^3 e^r^2,r,dr
Faça a substituição u = r^2, de onde du = 2r,dr e r,dr = tfrac12,du. Então
integral2^3 e^r^2,r,dr = 12 integralu=4^u=9 e^u,du = 12l[e^ur]4^9 = e^9-e^42
Agora volte à integral sobre theta:
integral0^2pi e^9-e^42,dtheta = e^9-e^42cdot 2pi = pil(e^9-e^4r)

Resposta

boxedintegral duplaD e^x^2+y^2,dx,dy = pil(e^9-e^4r)

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