Exercício 3 Utilizar coordenadas polares para calcular as integrais indicadas. Esboçar a região que fornece o domínio de integração em cada caso.
, onde
é a região limitada pelas circunferências
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
onde
é a região no plano limitada pelas circunferências
e
. O conteúdo principal aqui é a mudança para coordenadas polares, em que
e o elemento de área transforma-se como
.
Passo 2
Em coordenadas polares a região
vira um anel (uma “casca circular”) centrado na origem, com raio interno
e externo
. Assim:
(esboço mental: um anel entre os círculos de raio
e
.)
Passo 3
Reescrevendo a integral em polares:
Passo 4
Calculemos primeiro a integral interna em
:
Faça a substituição
, de onde
e
. Então
Agora volte à integral sobre
: