Resolva em \mathbb{R} as inequações abaixo:
(2 x^2-7 x+6)(2 x^2-7 x+5)(3 x-1) <= 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver em R a inequação
(2x^2 -7x +6),(2x^2 -7x +5),(3x -1)<= 0
O conteúdo da matéria é estudo de sinais de produto de fatores lineares (após fatoração), e vamos precisar achar as raízes de cada fator e montar o quadro de sinais.

Passo 2

Vamos fatorar cada polinômio quadrático.
A equação 2x^2 -7x +6=0 tem discriminante De<a=49-48=1, raízes
x=7pm14;Rightarrow;x=2,;32,
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2x^2 -7x +6 =2,(x-2),(x-tfrac32)
A equação 2x^2 -7x +5=0 tem De<a=49-40=9, raízes
x=7pm34;Rightarrow;x=1,;52,
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2x^2 -7x +5 =2,(x-1),(x-tfrac52)
E o fator linear é 3x-1, cuja raíz é x=tfrac13.

Passo 3

Reescrevendo o produto, extraímos a constante positiva 2cdot2=4, que não altera o sinal:
(2x^2 -7x +6),(2x^2 -7x +5),(3x-1) =4;(x-2),(x-tfrac32),(x-1),(x-tfrac52),(3x-1)
Portanto basta estudar o sinal de
f(x)=(x-2),(x-tfrac32),(x-1),(x-tfrac52),(3x-1)

Passo 4

As raízes são, em ordem crescente,
x=tfrac13,;1,;tfrac32,;2,;tfrac52
Como cada fator é de multiplicidade 1, em cada passagem por uma raiz o sinal de f(x) alterna. Para x> tfrac52 tomamos x=3 e vemos que todos os cinco fatores são positivos, logo f(x)>0 para x>tfrac52. A partir daí, cada raiz inverte o sinal. Concluímos:
  • f(x)<0 em (-infty,tfrac13), (1,tfrac32) e (2,tfrac52).
  • f(x)=0 em x=tfrac13,1,tfrac32,2,tfrac52.

Passo 5

Como queremos f(x)<=0, incluímos as raízes e os intervalos onde f(x)<0. A solução é
(-infty,tfrac13];cup;[1,tfrac32];cup;[2,tfrac52]

Resposta

(-infty,tfrac13];cup;[1,tfrac32];cup;[2,tfrac52]

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