A absorção de um fertilizante segue o modelo N(x)=-x^2+6 x, onde N(x) é a absorção (mg por dia) e x é a quantidade aplicada do fertilizante (g).
(a) Qual é a quantidade ideal de fertilizante para máxima absorção?
(b) Qual é a absorção máxima?
(c) O que acontece se forem aplicados 0 g ou 6 g ?

Passo 1

O enunciado dá a função de absorção de fertilizante
N(x) = -x^2 + 6x
onde x é a quantidade aplicada (em gramas) e N(x) é a absorção (em mg/dia). O objetivo é (a) achar a quantidade x que maximiza N(x), (b) encontrar esse valor máximo de absorção e (c) avaliar N(0) e N(6). Para isso, vamos usar o cálculo de extremos de funções polinomiais, em particular derivada para localizar o vértice da parábola.

Passo 2

Para encontrar o ponto de máximo de uma função do segundo grau, calculamos a derivada e igualamos a zero. A derivada de
N(x) = -x^2 + 6x
é
N'(x) = ddxl(-x^2 + 6xr) = -2x + 6
Impondo N'(x)=0
-2x + 6 = 0 Longrightarrow x = 3

Passo 3

A quantidade x=3 g é o vértice da parábola e, portanto, maximiza N(x). Para obter a absorção máxima, basta avaliar N(3):
N(3) = -(3)^2 + 6cdot 3 = -9 + 18 = 9

Passo 4

Agora calculamos o que ocorre em x=0 g e em x=6 g:
N(0) = -(0)^2 + 6cdot 0 = 0,
N(6) = -(6)^2 + 6cdot 6 = -36 + 36 = 0
Ou seja, aplicando 0 g ou 6 g de fertilizante a absorção cai para zero.

Resposta

(a) 3 g
(b) 9 mg/dia
(c) A absorção fica nula: N(0)=0 e N(6)=0.

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