Obtenha a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x)=(3 cdot sen x+4 cdot cos x)^5 no ponto da abscissa x0=pi.

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta tangente ao gráfico da função
f(x) = l(3,senx + 4,cos xr)^5
no ponto de abscissa x0 = pi. Para isso vamos usar a regra da cadeia para derivar e os valores de senpi e cospi.

Passo 2

Calcular o valor de f(pi):
f(pi) = l(3,senpi + 4,cospir)^5 = l(3cdot 0 + 4cdot(-1)r)^5 = (-4)^5 = -1024

Passo 3

Derivar f(x) usando a regra da cadeia. Sejam
u(x) = 3,senx + 4,cos x,
então f(x) = [u(x)]^5 e
f'(x) = 5,[u(x)]^4,cdot u'(x)
Como
u'(x) = 3,cos x - 4,sin x,
segue
f'(x) = 5l(3,senx + 4,cos xr)^4,(3,cos x - 4,sin x)

Passo 4

Avaliar f'(pi):
u(pi) = 3cdot0 + 4cdot(-1) = -4 Longrightarrow [u(pi)]^4 = 256,
3,cospi - 4,sinpi = 3cdot(-1) - 4cdot0 = -3
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f'(pi) = 5 cdot 256 cdot (-3) = 1280 cdot (-3) = -3840

Passo 5

Montar a equação da reta tangente passando por l(pi,,-1024r) com coeficiente angular m = f'(pi) = -3840:
y - l(-1024r) = -3840,(x - pi)

Resposta

y + 1024 = -3840,(x - pi)

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