Exercício 5. Utilize diferenciação implícita para determinar partial z / partial x e partial z / partial y.
y z=ln (y+z);

Passo 1

Então, galera! A gente tem um exercício que pede para a gente usar diferenciação implícita para encontrar as derivadas parciais partial zpartial x e partial zpartial y. O enunciado é:
y z = ln(y + z)
A matéria aqui é cálculo, especificamente diferenciação implícita. Vamos precisar lembrar como diferenciar equações onde z é uma função de x e y, mesmo que z não esteja isolado.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar partial zpartial x. Para isso, diferenciamos ambos os lados da equação em relação a x, tratando y como constante (já que estamos derivando em relação a x).
A equação original é:
y z = ln(y + z)
Diferenciando ambos os lados em relação a x:
y partial zpartial x = 1y + z ( 0 + partial zpartial x )
Aqui, usamos a regra da cadeia na parte direita porque z depende de x.

Passo 3

Agora, vamos isolar partial zpartial x. A equação ficou:
y partial zpartial x = 1y + z partial zpartial x
Podemos trazer todos os termos com partial zpartial x para um lado:
y partial zpartial x - 1y + z partial zpartial x = 0
Fatorando partial zpartial x:
partial zpartial x ( y - 1y + z ) = 0
Para que a equação seja válida, o fator multiplicado por partial zpartial x não pode ser zero, então:
partial zpartial x = 0
Isso significa que z não depende de x.

Passo 4

Agora, vamos encontrar partial zpartial y. Diferenciamos a equação original em relação a y, tratando x como constante.
A equação original é:
y z = ln(y + z)
Diferenciando ambos os lados em relação a y:
z + y partial zpartial y = 1y + z ( 1 + partial zpartial y )
Aqui, aplicamos a regra do produto no lado esquerdo e a regra da cadeia no lado direito.

Passo 5

Vamos isolar partial zpartial y. A equação ficou:
z + y partial zpartial y = 1 + partial zpartial yy + z
Multiplicando ambos os lados por y + z para eliminar o denominador:
(z + y partial zpartial y)(y + z) = 1 + partial zpartial y
Expande o lado esquerdo:
z(y + z) + y partial zpartial y (y + z) = 1 + partial zpartial y
Distribuindo:
y z + z^2 + y(y + z) partial zpartial y = 1 + partial zpartial y
Agora, vamos isolar os termos com partial zpartial y:
y(y + z) partial zpartial y - partial zpartial y = 1 - y z - z^2
Fatorando partial zpartial y:
partial zpartial y ( y(y + z) - 1 ) = 1 - y z - z^2
Finalmente, isolando partial zpartial y:
partial zpartial y = 1 - y z - z^2y(y + z) - 1

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial x = 0
e
partial zpartial y = 1 - y z - z^2y(y + z) - 1

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