Exercício 5. Utilize diferenciação implícita para determinar
e
.
;
Passo 1
Então, galera! A gente tem um exercício que pede para a gente usar diferenciação implícita para encontrar as derivadas parciais
e
. O enunciado é:
A matéria aqui é cálculo, especificamente diferenciação implícita. Vamos precisar lembrar como diferenciar equações onde
é uma função de
e
, mesmo que
não esteja isolado.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar
. Para isso, diferenciamos ambos os lados da equação em relação a
, tratando
como constante (já que estamos derivando em relação a
).
A equação original é:
Diferenciando ambos os lados em relação a
:
Aqui, usamos a regra da cadeia na parte direita porque
depende de
.
Passo 3
Agora, vamos isolar
. A equação ficou:
Podemos trazer todos os termos com
para um lado:
Fatorando
:
Para que a equação seja válida, o fator multiplicado por
não pode ser zero, então:
Isso significa que
não depende de
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar
. Diferenciamos a equação original em relação a
, tratando
como constante.
A equação original é:
Diferenciando ambos os lados em relação a
:
Aqui, aplicamos a regra do produto no lado esquerdo e a regra da cadeia no lado direito.
Passo 5
Vamos isolar
. A equação ficou:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Expande o lado esquerdo:
Distribuindo:
Agora, vamos isolar os termos com
:
Fatorando
:
Finalmente, isolando
:
Resposta
As derivadas parciais são:
e