Encontre a solução de cada PVI:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial do segundo grau:
com as condições iniciais:
Vamos precisar usar métodos para resolver equações diferenciais lineares com termos não homogêneos. Basicamente, vamos encontrar a solução geral da equação homogênea e depois achar uma solução particular para a equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
A solução dessa equação homogênea é uma combinação linear das funções seno e cosseno. Então, temos:
Aqui, $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais depois.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular ($ y_p(t) $) para a equação completa:
Como o lado direito da equação é uma função polinomial (8t), vamos assumir que a solução particular também seja um polinômio. Vamos supor:
onde $ A $ e $ B $ são constantes que precisamos descobrir.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de $ y_p(t) $:
Substituindo $ y_p(t) $, $ y_p’(t) $ e $ y_p’’(t) $ na equação original:
Simplificando:
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo $ t $, os coeficientes de $ t $ e os termos constantes devem ser iguais:
Então, a solução particular é:
Passo 5
Agora, juntamos a solução homogênea com a solução particular para obter a solução geral da equação diferencial:
Passo 6
Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar $ C_1 $ e $ C_2 $.
Primeiro, para $ y(0) = 0 $:
Então, $ C_1 = 0 $.
Passo 7
Agora, vamos usar a segunda condição inicial $ y’(0) = 10 $.
Primeiro, calculamos a derivada de $ y(t) $:
Como $ C_1 = 0 $:
Aplicando $ t = 0 $:
Resolvendo para $ C_2 $:
Resposta
A solução do PVI é: