Encontre a solução de cada PVI:
ly^prime prime+y=8 t y(0)=0, y^prime(0)=10

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial do segundo grau:
y'' + y = 8t
com as condições iniciais:
y(0) = 0 e y'(0) = 10
Vamos precisar usar métodos para resolver equações diferenciais lineares com termos não homogêneos. Basicamente, vamos encontrar a solução geral da equação homogênea e depois achar uma solução particular para a equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
y'' + y = 0
A solução dessa equação homogênea é uma combinação linear das funções seno e cosseno. Então, temos:
yh(t) = C1 cos(t) + C2 sin(t)
Aqui, $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais depois.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular ($ y_p(t) $) para a equação completa:
yp(t)
Como o lado direito da equação é uma função polinomial (8t), vamos assumir que a solução particular também seja um polinômio. Vamos supor:
y'' + y = 8t
onde $ A $ e $ B $ são constantes que precisamos descobrir.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de $ y_p(t) $:
yp(t)
yp'(t) = A
Substituindo $ y_p(t) $, $ y_p’(t) $ e $ y_p’’(t) $ na equação original:
yp''(t) = 0
Simplificando:
yp(t)
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo $ t $, os coeficientes de $ t $ e os termos constantes devem ser iguais:
yp'(t)
Então, a solução particular é:
yp''(t)

Passo 5

Agora, juntamos a solução homogênea com a solução particular para obter a solução geral da equação diferencial:
y(t) = yh(t) + yp(t) = C1 cos(t) + C2 sin(t) + 8t

Passo 6

Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar $ C_1 $ e $ C_2 $.
Primeiro, para $ y(0) = 0 $:
C1
Então, $ C_1 = 0 $.

Passo 7

Agora, vamos usar a segunda condição inicial $ y’(0) = 10 $.
Primeiro, calculamos a derivada de $ y(t) $:
y'(0) = 10
Como $ C_1 = 0 $:
y(t)
Aplicando $ t = 0 $:
y'(t) = -C1 sin(t) + C2 cos(t) + 8
Resolvendo para $ C_2 $:
C1 = 0

Resposta

A solução do PVI é:
y(t) = 2 sin(t) + 8t

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