Exercício 3. Utilize o Método da Variação do Parâmetros para encontrar a solução geral das EDOs abaixo
x^2 y^prime prime-2 x y^prime+2 y=x^3 cos x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem usando o Método da Variação dos Parâmetros. O enunciado nos dá a equação
x^2 y'' - 2x y' + 2y = x^3 cos x
Aqui, estamos lidando com uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) linear de coeficientes variáveis. Para resolver, vamos primeiro encontrar a solução geral da equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular usando a variação dos parâmetros.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
x^2 y'' - 2x y' + 2y = 0
Essa é uma equação de Euler-Cauchy, que tem a forma geral:
x^2 y'' + a x y' + b y = 0
Para resolver esse tipo de equação, assumimos uma solução da forma y = x^m. Vamos substituir na equação:
y = x^m y' = m x^m-1 y'' = m(m-1) x^m-2
Substituindo na equação homogênea:
x^2 cdot m(m-1) x^m-2 - 2x cdot m x^m-1 + 2x^m = 0 m(m-1) x^m - 2m x^m + 2x^m = 0 [m(m-1) - 2m + 2] x^m = 0 (m^2 - m - 2m + 2) x^m = 0 (m^2 -3m +2) x^m = 0
Isso nos dá a equação característica:
m^2 - 3m + 2 = 0
Resolvendo a equação quadrática:
m = 3 pm raiz9 - 82 = 3 pm 12 m1 = 2 m2 = 1

Passo 3

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
yh = C1 x^2 + C2 x
Onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma solução particular ( yp) para a equação completa usando o Método da Variação dos Parâmetros. A ideia é assumir que as constantes C1 e C2 são funções de x.
A forma geral do Método da Variação dos Parâmetros para uma equação y'' + P(x)y' + Q(x)y = R(x) é:
yp = u1 y1 + u2 y2
Onde y1 e y2 são soluções da homogênea, e u1 e u2 são funções a serem determinadas.
No nosso caso:
y1 = x^2, y2 = x R(x) = x^3 cos xx^2 = x cos x (dividindo a equação original por x^2) çã

Passo 5

Vamos montar o sistema para encontrar u1 e u2. As fórmulas são:
u1' = -y2 R(x)W u2' = y1 R(x)W
Onde W é o Wronskiano das soluções y1 e y2:
W = y1 y2' - y2 y1' y1' = 2x, y2' = 1 W = x^2 cdot 1 - x cdot 2x = x^2 - 2x^2 = -x^2

Passo 6

Substituindo no sistema:
u1' = -x cdot x cos x-x^2 = cos x u2' = x^2 cdot x cos x-x^2 = -x cos x
Agora, vamos integrar para encontrar u1 e u2:
u1 = integral cos x , dx = sin x + K u2 = integral -x cos x , dx
Para u2, usamos integração por partes:
integral x cos x , dx = x sin x + cos x + C Rightarrow u2 = -x sin x - cos x + K
Podemos ignorar as constantes de integração pois elas serão absorvidas na solução homogênea.

Passo 7

Agora, substituímos u1 e u2 na expressão de yp:
yp = u1 y1 + u2 y2 = sin x cdot x^2 + (-x sin x - cos x) cdot x = x^2 sin x - x^2 sin x - x cos x = -x cos x

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
y = C1 x^2 + C2 x - x cos x

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