Exercício 3. Utilize o Método da Variação do Parâmetros para encontrar a solução geral das EDOs abaixo
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem usando o Método da Variação dos Parâmetros. O enunciado nos dá a equação
Aqui, estamos lidando com uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) linear de coeficientes variáveis. Para resolver, vamos primeiro encontrar a solução geral da equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular usando a variação dos parâmetros.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Essa é uma equação de Euler-Cauchy, que tem a forma geral:
Para resolver esse tipo de equação, assumimos uma solução da forma
. Vamos substituir na equação:
Substituindo na equação homogênea:
Isso nos dá a equação característica:
Resolvendo a equação quadrática:
Passo 3
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma solução particular (
) para a equação completa usando o Método da Variação dos Parâmetros. A ideia é assumir que as constantes
e
são funções de
.
A forma geral do Método da Variação dos Parâmetros para uma equação
é:
Onde
e
são soluções da homogênea, e
e
são funções a serem determinadas.
No nosso caso:
Passo 5
Vamos montar o sistema para encontrar
e
. As fórmulas são:
Onde
é o Wronskiano das soluções
e
:
Passo 6
Substituindo no sistema:
Agora, vamos integrar para encontrar
e
:
Para
, usamos integração por partes:
Podemos ignorar as constantes de integração pois elas serão absorvidas na solução homogênea.
Passo 7
Agora, substituímos
e
na expressão de
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é