Usando as propriedade e teoremas estudados, calcule se existir o valor dos seguintes limites:
lim x -infty raiz[3]x^2x^3-7

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular o limite quando $ x $ tende a menos infinito da função $ \sqrt[3]{\frac{x{2}}{x{3}-7}} $. Estamos lidando com limites de funções que envolvem raízes e potências, então vamos precisar usar algumas propriedades de limites e simplificar a expressão para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a expressão dentro da raiz cúbica: $ \frac{x{2}}{x{3}-7} $. Quando $ x $ tende a menos infinito, os termos de maior grau (no caso, $ x^{3} $ no denominador) vão dominar o comportamento da função. Então, podemos simplificar ignorando os termos de menor grau.

Passo 3

Simplificando a fração, temos:
x^2x^3-7 approx x^2x^3 = 1x
Agora, a expressão dentro da raiz cúbica fica mais simples: $ \frac{1}{x} $.

Passo 4

Vamos calcular o limite de $ \frac{1}{x} $ quando $ x $ tende a menos infinito:
1x
Como a raiz cúbica é uma função contínua, podemos passar o limite para dentro da raiz:
x

Resposta

O limite é igual a 0.

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