Exercício 3. Utilize o Método da Variação do Parâmetros para encontrar a solução geral das EDOs abaixo
x^2 y^prime prime-x y^prime+y=x ln x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para usar o Método da Variação dos Parâmetros para encontrar a solução geral da equação diferencial ordinária (EDO):
x^2 y'' - x y' + y = x ln x
Isso envolve conhecimentos de equações diferenciais lineares de segunda ordem e métodos para encontrar soluções particulares quando a equação não é homogênea. Vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e, em seguida, aplicar o método da variação dos parâmetros para achar uma solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
x^2 y'' - x y' + y = 0
Isso é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes não constantes. Para resolver, vamos assumir uma solução da forma:
y = x^r

Passo 3

Substituindo y = x^r na equação homogênea:
Primeiro derivamos:
y' = r x^r-1
y'' = r (r-1) x^r-2
Agora substituímos na equação:
x^2 cdot r (r-1) x^r-2 - x cdot r x^r-1 + x^r = 0
Simplificando:
r (r-1) x^r - r x^r + x^r = 0
Fatorando x^r:
x^r [r (r - 1) - r + 1] = 0
Então:
r^2 - r - r + 1 = r^2 - 2r + 1 = 0

Passo 4

Resolvendo a equação característica:
r^2 - 2r + 1 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara:
r = 2 pm raiz4 - 42 = 22 = 1
Obtivemos uma raiz dupla r = 1.

Passo 5

Com raiz dupla r=1, a solução geral da equação homogênea é:
yh = C1 x^1 + C2 x^1 ln x = C1 x + C2 x ln x
Aqui, C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Passo 6

Agora, vamos encontrar uma solução particular yp para a equação não homogênea:
x^2 y'' - x y' + y = x ln x
Usaremos o Método da Variação dos Parâmetros, onde assumimos que os coeficientes das soluções homogêneas ( C1 e C2) são funções de x.

Passo 7

Assumindo:
yp = u1(x) x + u2(x) x ln x
Calculamos as derivadas:
Primeira derivada:
yp' = u1' x + u1 + u2' x ln x + u2 (ln x + 1)
Segunda derivada:
yp'' = u1'' x + 2 u1' + u2'' x ln x + 2 u2' (ln x + 1) + u2 (1x)

Passo 8

Para simplificar, impomos as condições:
u1' x + u2' x ln x = 0
u1' + u2' (ln x + 1) = ln xx
Essas equações ajudam a resolver para u1' e u2'.

Passo 9

Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
u1' = -u2' ln x
Substituindo na segunda equação:
-u2' ln x + u2' (ln x + 1) = ln xx
Simplificando:
u2' = ln xx
Então:
u1' = -ln x cdot ln xx = -(ln x)^2x

Passo 10

Integrando para encontrar u1 e u2:
u2 = integral ln xx dx = (ln x)^22 + K
u1 = -integral (ln x)^2x dx = -(ln x)^33 + K
Desconsideramos a constante de integração K pois já está incorporada nas soluções homogêneas.

Passo 11

Substituindo u1 e u2 na expressão de yp:
yp = (-(ln x)^33) x + ((ln x)^22) x ln x
Simplificando:
yp = -x (ln x)^33 + x (ln x)^32 = (-13 + 12) x (ln x)^3 = x (ln x)^36

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = C1 x + C2 x ln x + x (ln x)^36
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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