Exercício 3. Utilize o Método da Variação do Parâmetros para encontrar a solução geral das EDOs abaixo
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para usar o Método da Variação dos Parâmetros para encontrar a solução geral da equação diferencial ordinária (EDO):
Isso envolve conhecimentos de equações diferenciais lineares de segunda ordem e métodos para encontrar soluções particulares quando a equação não é homogênea. Vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e, em seguida, aplicar o método da variação dos parâmetros para achar uma solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
Isso é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes não constantes. Para resolver, vamos assumir uma solução da forma:
Passo 3
Substituindo
na equação homogênea:
Primeiro derivamos:
Agora substituímos na equação:
Simplificando:
Fatorando
:
Então:
Passo 4
Resolvendo a equação característica:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Obtivemos uma raiz dupla
.
Passo 5
Com raiz dupla
, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui,
e
são constantes arbitrárias.
Passo 6
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação não homogênea:
Usaremos o Método da Variação dos Parâmetros, onde assumimos que os coeficientes das soluções homogêneas (
e
) são funções de
.
Passo 7
Assumindo:
Calculamos as derivadas:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 8
Para simplificar, impomos as condições:
Essas equações ajudam a resolver para
e
.
Passo 9
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Simplificando:
Então:
Passo 10
Integrando para encontrar
e
:
Desconsideramos a constante de integração
pois já está incorporada nas soluções homogêneas.
Passo 11
Substituindo
e
na expressão de
:
Simplificando:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes arbitrárias.