Faça um esboço e calcule a área das regiões delimitadas pelos gráficos das seguintes equações:
Passo 1
Vamos listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- São dadas as curvas e retas:
- O enunciado pede:
- Fazer um esboço (um desenho mental/rápido) da região delimitada por essas curvas.
- Calcular a área da(s) região(ões) delimitada(s).
Informações numéricas úteis (convertendo para aproximados para ajudar no esboço):
Passo 2
Esboço e identificação de quem está acima e quem está abaixo na faixa vertical entre
e
.
- Para esboçar: desenhe o eixo
com os pontos (mais à esquerda) e (mais à direita). A função em varia de até (valores positivos). A reta nessa faixa vai de até (valores negativos). - Portanto, em toda a faixa
temos e , logo - Assim existe uma única região entre as curvas no retângulo vertical determinado por
e , com a curva como limite superior e como limite inferior.
Passo 3
Planejar o cálculo da área: fórmula e razão.
- Quando se tem uma região entre duas curvas
(acima) e (abaixo) para variando de até , a área é dada por Explicando: essa integral soma, para cada no intervalo, a diferença vertical (a “altura” do retângulo infinitesimal) multiplicada pela largura infinitesimal ; a soma (integral) dá a área total. - Aqui temos
, , , . Como já vimos no intervalo, podemos aplicar diretamente:
Passo 4
Calcular a primitiva (antiderivada) de
.
- A primitiva de
é porque . - A primitiva de
é porque . - Logo uma primitiva de
é
Passo 5
Avaliar a integral definida usando a primitiva encontrada.
- Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
- Calcular cada termo separadamente:
pois e , então . pois e , então metade é .
Passo 6
Subtrair e simplificar para obter a forma final exata.
- Subtraindo,
- Calcule cada parte:
Para as potências de : Logo - Portanto a área exata é
Passo 7
Dar uma aproximação numérica (útil para conferir e para esboço).
- Como
, tem-se assim