Faça um esboço e calcule a área das regiões delimitadas pelos gráficos das seguintes equações:
y=\cos x, \quad y=x, \quad x=-\pi / 2, \quad x=-\pi / 6

Passo 1

Vamos listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • São dadas as curvas e retas: y=\cos x,\qquad y=x,\qquad x=-\frac{\pi}{2},\qquad x=-\frac{\pi}{6}.
  • O enunciado pede:
    • Fazer um esboço (um desenho mental/rápido) da região delimitada por essas curvas.
    • Calcular a área da(s) região(ões) delimitada(s).
Informações numéricas úteis (convertendo para aproximados para ajudar no esboço):
-\frac{\pi}{2}\approx -1,5708,\qquad -\frac{\pi}{6}\approx -0,5236,\qquad \cos\!\bigl(-\tfrac{\pi}{2}\bigr)=0,\qquad \cos\!\bigl(-\tfrac{\pi}{6}\bigr)=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx0,8660.

Passo 2

Esboço e identificação de quem está acima e quem está abaixo na faixa vertical entre x=-\tfrac{\pi}{2} e x=-\tfrac{\pi}{6}.
  • Para esboçar: desenhe o eixo x com os pontos x=-\tfrac{\pi}{2} (mais à esquerda) e x=-\tfrac{\pi}{6} (mais à direita). A função y=\cos x em [-\,\tfrac{\pi}{2},-\,\tfrac{\pi}{6}] varia de 0 até \tfrac{\sqrt{3}}{2} (valores positivos). A reta y=x nessa faixa vai de -\tfrac{\pi}{2} até -\tfrac{\pi}{6} (valores negativos).
  • Portanto, em toda a faixa x\in\bigl[-\tfrac{\pi}{2},-\tfrac{\pi}{6}\bigr] temos \cos x>0 e x<0, logo \cos x > x \quad\text{para todo }x\text{ no intervalo dado.}
  • Assim existe uma única região entre as curvas no retângulo vertical determinado por x=-\tfrac{\pi}{2} e x=-\tfrac{\pi}{6}, com a curva y=\cos x como limite superior e y=x como limite inferior.

Passo 3

Planejar o cálculo da área: fórmula e razão.
  • Quando se tem uma região entre duas curvas y=f(x) (acima) e y=g(x) (abaixo) para x variando de a até b, a área A é dada por A=\int_{a}^{b}\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx.Explicando: essa integral soma, para cada x no intervalo, a diferença vertical f(x)-g(x) (a “altura” do retângulo infinitesimal) multiplicada pela largura infinitesimal dx; a soma (integral) dá a área total.
  • Aqui temos f(x)=\cos x, g(x)=x, a=-\tfrac{\pi}{2}, b=-\tfrac{\pi}{6}. Como já vimos \cos x\ge x no intervalo, podemos aplicar diretamente: A=\int_{-\tfrac{\pi}{2}}^{-\tfrac{\pi}{6}}\bigl(\cos x - x\bigr)\,dx.

Passo 4

Calcular a primitiva (antiderivada) de \cos x - x.
  • A primitiva de \cos x é \sin x porque \dfrac{d}{dx}\sin x=\cos x.
  • A primitiva de -x é -\dfrac{x^{2}}{2} porque \dfrac{d}{dx}\bigl(-\tfrac{x^{2}}{2}\bigr)=-x.
  • Logo uma primitiva de \cos x - x é F(x)=\sin x - \frac{x^{2}}{2}.

Passo 5

Avaliar a integral definida usando a primitiva encontrada.
  • Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, A=F\!\left(-\tfrac{\pi}{6}\right)-F\!\left(-\tfrac{\pi}{2}\right).
  • Calcular cada termo separadamente: F\!\left(-\tfrac{\pi}{6}\right)=\sin\!\left(-\tfrac{\pi}{6}\right)-\frac{(-\tfrac{\pi}{6})^{2}}{2} =-\tfrac{1}{2}-\frac{\pi^{2}}{72},pois \sin\!\bigl(-\tfrac{\pi}{6}\bigr)=-\tfrac{1}{2} e (-\tfrac{\pi}{6})^{2}=\tfrac{\pi^{2}}{36}, então \tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{\pi^{2}}{36}=\tfrac{\pi^{2}}{72}. F\!\left(-\tfrac{\pi}{2}\right)=\sin\!\left(-\tfrac{\pi}{2}\right)-\frac{(-\tfrac{\pi}{2})^{2}}{2} =-1-\frac{\pi^{2}}{8},pois \sin\!\bigl(-\tfrac{\pi}{2}\bigr)=-1 e (-\tfrac{\pi}{2})^{2}=\tfrac{\pi^{2}}{4}, então metade é \tfrac{\pi^{2}}{8}.

Passo 6

Subtrair e simplificar para obter a forma final exata.
  • Subtraindo, A=\Bigl(-\tfrac{1}{2}-\frac{\pi^{2}}{72}\Bigr)-\Bigl(-1-\frac{\pi^{2}}{8}\Bigr) =\Bigl(-\tfrac{1}{2}+1\Bigr)+\Bigl(-\frac{\pi^{2}}{72}+\frac{\pi^{2}}{8}\Bigr).
  • Calcule cada parte: -\tfrac{1}{2}+1=\tfrac{1}{2}.Para as potências de \pi: -\frac{1}{72}+\frac{1}{8}=-\frac{1}{72}+\frac{9}{72}=\frac{8}{72}=\frac{1}{9}.Logo -\frac{\pi^{2}}{72}+\frac{\pi^{2}}{8}=\frac{\pi^{2}}{9}.
  • Portanto a área exata é A=\frac{1}{2}+\frac{\pi^{2}}{9}.

Passo 7

Dar uma aproximação numérica (útil para conferir e para esboço).
  • Como \pi^{2}\approx 9{,}8696, tem-se \frac{\pi^{2}}{9}\approx 1{,}0966,\qquad \frac{1}{2}=0{,}5,assim A\approx 0{,}5+1{,}0966=1{,}5966\\ (\text{aprox.}).

Resposta

A=\dfrac{1}{2}+\dfrac{\pi^{2}}{9}\approx 1,5966

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