Exercício 1. - vale 4 pontos. Calcule os limites seguintes:
lim x 0 sen(sen x) raizx^4+x^23 x^2.

Passo 1

O enunciado pede
limxto0sin(sin x),raizx^4+x^23x^2
O que vamos usar:
– Série de Taylor de sin x e de sin(sin x) até ordem x^3.
– A identidade raizx^2=|x|.

Passo 2

Expandimos sin(sin x) até ordem x^3. Primeiro
sin x = x - x^36 + o(x^3),
logo
sin(sin x) = sinl(x - tfracx^36 + o(x^3)r) = l(x - tfracx^36r) - 16l(x - tfracx^36r)^3 + o(x^3)
Como l(x - tfracx^36r)^3 = x^3 + o(x^3), obtemos
sin(sin x) = x - x^36 - x^36 + o(x^3) = x - x^33 + o(x^3)

Passo 3

Agora expandimos a raiz:
raizx^4 + x^2 = raizx^2(1 + x^2) = |x|,raiz1 + x^2 = |x|l(1 + x^22 + o(x^2)r)

Passo 4

Multiplicando e dividindo pelo denominador:
sin(sin x),raizx^4 + x^2 = l(x - tfracx^33 + o(x^3)r); |x|l(1 + tfracx^22 + o(x^2)r) = x,|x|l(1 + tfracx^26 + o(x^2)r)
Portanto
sin(sin x),raizx^4 + x^23x^2 = x,|x|3x^2l(1 + tfracx^26 + o(x^2)r) = |x|3xl(1 + tfracx^26 + o(x^2)r)

Passo 5

Note que
|x|x = 1 & se x>0, -1 & se x<0
Assim
limxto0^+|x|x=1, limxto0^-|x|x=-1,
o que dá
limxto0^+sin(sin x),raizx^4 + x^23x^2 =13, limxto0^-sin(sin x),raizx^4 + x^23x^2 =-13
Como os limites laterais são diferentes, o limite bilateral não existe.

Resposta

O limite limxto0sin(sin x)raizx^4+x^23x^2 não existe.

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