Exercício 2. - vale 3 pontos. Usando a definição de limite, prove que
lim x 3(3 x-1)=8

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, usando a definição epsilon de<a de limite, que
limxto3(3x-1)=8
Este é um exercício de análise real sobre limites de funções, em particular de uma função linear. Para provar isso, precisamos lembrar a definição: dizemos que
limxto af(x)=L
se, para todo varepsilon>0, existe de<a>0 tal que, sempre que 0<|x-a|<de<a, temos |f(x)-L|<varepsilon. Aqui a=3, f(x)=3x-1 e L=8.

Passo 2

Vamos estimar a diferença |f(x)-L| em termos de |x-3|. Calculamos
|f(x)-8| = |(3x-1)-8| = |3x-9| = 3,|x-3|
Para garantir |f(x)-8|<varepsilon, basta assegurar
3,|x-3| < varepsilon Long<=ftrightarrow |x-3| < varepsilon3

Passo 3

A partir dessa observação, fazemos a escolha natural
de<a = varepsilon3
Agora, suponha que 0<|x-3|<de<a. Então
|f(x)-8| = 3,|x-3| < 3,de<a = 3cdotvarepsilon3 = varepsilon
Isso mostra exatamente que, dado qualquer varepsilon>0, podemos achar de<a=varepsilon/3 tal que 0<|x-3|<de<a implica |f(x)-8|<varepsilon.

Passo 4

Concluímos, portanto, pela definição de limite, que
limxto3(3x-1)=8

Resposta

Para cada varepsilon>0, seja de<a=varepsilon/3. Então, se 0<|x-3|<de<a, temos
|3x-1 - 8| = 3,|x-3| < 3,de<a = varepsilon
Logo, limxto3(3x-1)=8.

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