Exercício 2. - vale 3 pontos. Usando a definição de limite, prove que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, usando a definição
–
de limite, que
Este é um exercício de análise real sobre limites de funções, em particular de uma função linear. Para provar isso, precisamos lembrar a definição: dizemos que
se, para todo
, existe
tal que, sempre que
, temos
. Aqui
,
e
.
Passo 2
Vamos estimar a diferença
em termos de
. Calculamos
Para garantir
, basta assegurar
Passo 3
A partir dessa observação, fazemos a escolha natural
Agora, suponha que
. Então
Isso mostra exatamente que, dado qualquer
, podemos achar
tal que
implica
.
Passo 4
Concluímos, portanto, pela definição de limite, que
Resposta
Para cada
, seja
. Então, se
, temos
Logo,
.