Exercício 3. - vale 3 pontos. Seja
uma funçāo dada, que suponhamos contínua cm um ponto
. Suponha que
. Prove que existe um intervalo
tal que
para todo
. Dica: aplique a definição de função contínua e escolha de forma conveniente o valor
.
Em seguida, apresente um exemplo onde o resultado é falso no caso de uma função descontínua em
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se
,
é contínua em
e
, então existe um intervalo aberto
tal que
para todo
. O conteúdo usado será a definição de continuidade no ponto e a escolha adequada de
.
Passo 2
Pela continuidade em
, para cada
existe
tal que
Como
, seja
Então obtém-se
com
Isto implica
Como
, podemos definir
para assegurar que
. Logo, em
temos
para todo
.
Passo 3
No caso de função descontínua em
Aqui existem pontos
tais que
. Logo não existe vizinhança de
em que
para todos os
.
Resposta
Foi provado que a continuidade em
e
garantem um intervalo aberto em torno de
onde
mantém sinal positivo, e o contra-exemplo acima mostra que sem continuidade isso pode falhar.