Exercício 3. - vale 3 pontos. Seja f:(a, b) R uma funçāo dada, que suponhamos contínua cm um ponto c in(a, b). Suponha que f(c)>0. Prove que existe um intervalo I=(c-de<a, c+de<a) tal que f(x)>0 para todo x in 1. Dica: aplique a definição de função contínua e escolha de forma conveniente o valor varepsilon.
Em seguida, apresente um exemplo onde o resultado é falso no caso de uma função descontínua em c.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se (a,b)subseteqR, f:(a,b)toR é contínua em cin(a,b) e f(c)>0, então existe um intervalo aberto
I=(c-de<a,c+de<a)
tal que f(x)>0 para todo xin I. O conteúdo usado será a definição de continuidade no ponto e a escolha adequada de varepsilon.

Passo 2

Pela continuidade em c, para cada varepsilon>0 existe de<a0>0 tal que
|x-c|<de<a0 Longrightarrow |f(x)-f(c)|<varepsilon
Como f(c)>0, seja
varepsilon = f(c)2,
Então obtém-se de<a0>0 com
|x-c|<de<a0 Longrightarrow |f(x)-f(c)|<f(c)2
Isto implica
f(x) > f(c) - |f(x)-f(c)| > f(c) - f(c)2 = f(c)2 > 0
Como cin(a,b), podemos definir
de<a = minl(de<a0,,c-a,,b-cr)
para assegurar que (c-de<a,c+de<a)subset(a,b). Logo, em I=(c-de<a,c+de<a) temos f(x)>0 para todo xin I.

Passo 3

No caso de função descontínua em
Aqui existem pontos tais que . Logo não existe vizinhança de em que para todos os .

Resposta

Foi provado que a continuidade em c e f(c)>0 garantem um intervalo aberto em torno de c onde f mantém sinal positivo, e o contra-exemplo acima mostra que sem continuidade isso pode falhar.

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