Exercício 7. Para que valor de m os pontos A=(m, 1,2), B=(2,-2,-3), C=(5,-1,1) e D=(3,-2,-2) são coplanares?

Passo 1

O enunciado dá quatro pontos A=(m,1,2), B=(2,-2,-3), C=(5,-1,1) e D=(3,-2,-2) e pede o valor de m para os quais eles são coplanares. Quatro pontos são coplanares se, e somente se, o produto misto dos vetores AB, AC e AD for zero.

Passo 2

Calculamos os vetores a partir de A:
AB = B - A = (2-m,,-2-1,,-3-2) = (2-m,,-3,,-5),
AC = C - A = (5-m,,-1-1,;1-2) = (5-m,,-2,,-1),
AD = D - A = (3-m,,-2-1,,-2-2) = (3-m,,-3,,-4)

Passo 3

O produto misto é dado pelo determinante
2-m & -3 & -5 5-m & -2 & -1 3-m & -3 & -4 =0
Expandindo por cofactores na primeira linha:
(2-m)l[(-2)(-4)-(-1)(-3)r] -(-3)l[(5-m)(-4)-(-1)(3-m)r] -5l[(5-m)(-3)-(-2)(3-m)r]=0
Calculamos cada termo:
(2-m)l[8-3r]=5(2-m)=10-5m,
+3l[-4(5-m)+(3-m)r]=3l[-20+4m+3-mr]=3(-17+3m)=-51+9m,
-5l[-3(5-m)+2(3-m)r]=-5l[-15+3m+6-2mr]=-5(-9+m)=45-5m
Somando:
(10-5m)+(-51+9m)+(45-5m)=4-m=0

Passo 4

Resolvendo 4-m=0 obtemos
m=4

Resposta

m=4

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