Calcule todas as derivadas parciais de
ordem.
Passo 1
O enunciado pede para calcular todas as derivadas parciais de segunda ordem da função
Para isso vamos usar regra da cadeia e regra do produto para derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro encontramos as derivadas parciais de primeira ordem. Como
temos
e
Passo 3
Agora calculamos a derivada segunda em relação a
, isto é
. Aplicando regra do produto em
temos
Passo 4
Em seguida a derivada mista
. Diferenciando
em relação a
,
Por simetria de Schwarz,
.
Passo 5
Por fim calculamos
. A partir de
temos