Calcule todas as derivadas parciais de 2^{\mathrm{a}} ordem.
f(x, y)=e^{x^{2}-y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular todas as derivadas parciais de segunda ordem da função
f(x,y)=e^{x^{2}-y^{2}}.
Para isso vamos usar regra da cadeia e regra do produto para derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro encontramos as derivadas parciais de primeira ordem. Como
f(x,y)=e^{x^{2}-y^{2}},
temos
f_{x}=\frac{\partial}{\partial x}e^{x^{2}-y^{2}} =e^{x^{2}-y^{2}}\cdot\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}-y^{2}) =2x\,e^{x^{2}-y^{2}}
e
f_{y}=\frac{\partial}{\partial y}e^{x^{2}-y^{2}} =e^{x^{2}-y^{2}}\cdot\frac{\partial}{\partial y}(x^{2}-y^{2}) =-2y\,e^{x^{2}-y^{2}}.

Passo 3

Agora calculamos a derivada segunda em relação a x, isto é f_{xx}. Aplicando regra do produto em
f_{x}=2x\,e^{x^{2}-y^{2}},
temos
f_{xx} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(2x\,e^{x^{2}-y^{2}}\bigr) =2\,e^{x^{2}-y^{2}}+2x\cdot\bigl(e^{x^{2}-y^{2}}\cdot2x\bigr) =\bigl(2+4x^{2}\bigr)e^{x^{2}-y^{2}}.

Passo 4

Em seguida a derivada mista f_{xy}. Diferenciando f_{x}=2x\,e^{x^{2}-y^{2}} em relação a y,
f_{xy} =2x\cdot\bigl(e^{x^{2}-y^{2}}\cdot(-2y)\bigr) =-4xy\,e^{x^{2}-y^{2}}.
Por simetria de Schwarz, f_{yx}=f_{xy}.

Passo 5

Por fim calculamos f_{yy}. A partir de
f_{y}=-2y\,e^{x^{2}-y^{2}},
temos
f_{yy} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(-2y\,e^{x^{2}-y^{2}}\bigr) =-2\,e^{x^{2}-y^{2}}+(-2y)\cdot\bigl(e^{x^{2}-y^{2}}\cdot(-2y)\bigr) =\bigl(4y^{2}-2\bigr)e^{x^{2}-y^{2}}.

Resposta

f_{xx}=(4x^{2}+2)\,e^{x^{2}-y^{2}},\quad f_{xy}=f_{yx}=-4xy\,e^{x^{2}-y^{2}},\quad f_{yy}=(4y^{2}-2)\,e^{x^{2}-y^{2}}.

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