Exercício P.1.5.3. Vapor d’água saturado a 255^{\circ} \mathrm{C} escoa por um tubo de parede fina de diâmetro externo igual a 20 cm . A tubulação atravessa um amplo salão de 10 m de comprimento e cujas paredes estão à mesma temperatura de 25^{\circ} \mathrm{C} do ambiente ( \mathrm{h}_{\mathrm{ar}}=5 \mathrm{kcal} / \mathrm{h} \cdot \mathrm{m}^{2} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C} ). Deseja-se pintar a superfície do tubo de maneira que ao sair do recinto, o vapor no interior do tubo se encontre com apenas 5 \% de sua massa não condensada. No almoxarifado da indústria dispõe-se de 3 tintas cujas emissividade são : tinta \mathrm{A}-\varepsilon_{\mathrm{a}}=1; tinta \mathrm{B}-\varepsilon_{\mathrm{b}}=0,86 e tinta \mathrm{C}-\varepsilon_{\mathrm{c}}=0,65. Sabendo que o calor latente de vaporização nestas condições é 404 \mathrm{Kcal} / \mathrm{Kg}, determinar:
a) a tinta com a qual devemos pintar o tubo, sabendo-se que a vazão de vapor é 55,2 \mathrm{~kg} / \mathrm{h}
b) a energia radiante por unidade de comprimento após a pintura

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
Dados extraídos do enunciado:
  • Diâmetro externo do tubo: D=0{,}20\\ \text{m}.
  • Comprimento do salão (comprimento do trecho quente): L=10\\ \text{m}.
  • Temperatura do vapor saturado (temperatura de condensação): T_s=255^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura do ambiente/paredes: T_a=25^\circ\mathrm{C}.
  • Coeficiente convectivo do ar externo: h_{\text{ar}}=5\\ \mathrm{kcal}/\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}^2\cdot{^\circ\mathrm{C}}.
  • Vazão mássica de vapor: \dot m=55{,}2\\ \mathrm{kg}/\mathrm{h}.
  • Fração de massa que deve permanecer não condensada ao sair: 5\% (logo 95\% deve condensar).
  • Calor latente de vaporização: L_v=404\\ \mathrm{kcal}/\mathrm{kg}.
  • Emissividades disponíveis:
    • Tinta A: \varepsilon_a=1{,}00.
    • Tinta B: \varepsilon_b=0{,}86.
    • Tinta C: \varepsilon_c=0{,}65.
O enunciado pede:
a) Qual tinta devemos usar para que, ao sair do recinto, reste apenas 5\% da massa do vapor não condensada (dado \dot m)?
b) A energia radiante por unidade de comprimento após a pintura (ou seja, o componente radiativo de potência por metro, com a tinta escolhida).
Observação: todos os cálculos serão feitos por hora (kcal/h) e por unidade de comprimento (por metro) para comparar diretamente com a vazão em \mathrm{kg}/\mathrm{h}.

Passo 2

Definir o método e as hipóteses físicas (coisa importante para a prova):
  • Hipótese de parede fina: resistência térmica da parede do tubo é desprezível, logo a temperatura da superfície externa do tubo pode ser tomada igual à temperatura de condensação do vapor, isto é T_s=255^\circ\mathrm{C}.
  • Energia necessária para condensar uma massa \Delta m por unidade de tempo é \dot Q = \Delta m \cdot L_v.
  • Para condensar 95\% da vazão \dot m que atravessa o tubo por hora, a energia removida por hora deve ser \dot Q_{\text{req}} = 0{,}95\,\dot m\,L_v.
  • O calor removido do vapor passa pela superfície externa do tubo para o ambiente por convecção mais radiação. Logo a densidade de fluxo térmico superficial (por área) total é q'' = h_{\text{ar}}\,(T_s - T_a) + \varepsilon\,\sigma\left(T_s^4 - T_a^4\right),onde \sigma é a constante de Stefan–Boltzmann expressa em \mathrm{kcal}/\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}^4.
  • A energia por unidade de comprimento do tubo é q' = q'' \times perímetro = q'' \cdot \pi D.
  • Compararemos q' gerado para cada tinta com a q'_{\text{req}}=\dfrac{\dot Q_{\text{req}}}{L} (energia por unidade de comprimento necessária).

Passo 3

Calcular a energia total que precisa ser removida por hora e por metro para condensar 95\% da vazão:
Massa condensada por hora:
\Delta m = 0{,}95\,\dot m = 0{,}95\times 55{,}2 = 52{,}44\\ \mathrm{kg/h}.
Energia por hora necessária:
\dot Q_{\text{req}} = \Delta m \cdot L_v = 52{,}44 \times 404 = 21\,185{,}76\\ \mathrm{kcal/h}.
Energia por unidade de comprimento (por metro), usando L=10\\ \text{m}:
q'_{\text{req}} = \frac{\dot Q_{\text{req}}}{L} = \frac{21\,185{,}76}{10} = 2\,118{,}576\\ \mathrm{kcal}/\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}.
Perímetro do tubo:
P=\pi D=\pi(0{,}20)=0{,}62831853\\ \mathrm{m}.
Logo a densidade de fluxo superficial exigida é
q''_{\text{req}}=\frac{q'_{\text{req}}}{P}=\frac{2\,118{,}576}{0{,}62831853}=3\,372{,}00\\ \mathrm{kcal}/\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}^2.
Interpretação prática: a superfície do tubo precisa perder, por área, cerca de 3{,}372\\ \mathrm{kcal}/\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}^2 para satisfazer a condensação desejada.

Passo 4

Explicar a expressão de transferência de calor usada e converter a constante de Stefan–Boltzmann para as unidades do problema.
Fórmula usada:
q'' = h_{\text{ar}}\,(T_s-T_a) + \varepsilon\,\sigma\left(T_s^4-T_a^4\right).
  • h_{\text{ar}} em \mathrm{kcal}/\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}.
  • T_s e T_a em kelvin para a parte radiativa.
  • \sigma em \mathrm{kcal}/\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}^4.
Conversão de \sigma:
  • Valor em SI: \sigma=5{,}670374\times10^{-8}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}^4.
  • Conversão 1\\ \mathrm{W}=0{,}86042065\\ \mathrm{kcal}/\mathrm{h}. Logo
\sigma_{\text{kcal}}=5{,}670374\times10^{-8}\times 0{,}86042065 \approx 4{,}879\times10^{-8}\\ \mathrm{kcal}/\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}^4.
Temperaturas em kelvin:
T_s = 255^\circ\mathrm{C}=255+273=528\\ \mathrm{K},\qquad T_a=25^\circ\mathrm{C}=298\\ \mathrm{K}.
Calcular T_s^4-T_a^4. Para reduzir cálculos usamos fatorização:
T_s^4-T_a^4=(T_s^2+T_a^2)(T_s+T_a)(T_s-T_a).
Substituindo:
T_s+T_a=826,\quad T_s-T_a=230,
T_s^2+T_a^2=528^2+298^2=278\,784+88\,804=367\,588,
T_s^4-T_a^4=367\,588\times826\times230=6{,}983436824\times10^{10}\\ \mathrm{K}^4.
Logo o termo radiativo (sem \varepsilon) por área é
\sigma_{\text{kcal}}\left(T_s^4-T_a^4\right)\approx 4{,}879\times10^{-8}\times 6{,}983436824\times10^{10} \approx 3\,407{,}219\\ \mathrm{kcal}/\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}^2.
Portanto a expressão numérica final para o fluxo superficial será
q'' = h_{\text{ar}}(T_s-T_a)+\varepsilon\cdot 3\,407{,}219 =5\cdot 230 + \varepsilon\cdot 3\,407{,}219 =1\,150 + \varepsilon\cdot 3\,407{,}219\\ \mathrm{kcal}/\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}^2.

Passo 5

Calcular q'' e q' (por metro) para cada tinta e comparar com o requerido.
Perímetro P=0{,}62831853\\ \mathrm{m}.
Fórmula usada:
q''(\varepsilon)=1\,150+\varepsilon\cdot 3\,407{,}219, \qquad q'(\varepsilon)=q''(\varepsilon)\cdot P.
Para tinta A ( \varepsilon_a=1{,}00):
q''_a = 1\,150 + 1{,}00\cdot 3\,407{,}219 = 4\,557{,}219\\ \mathrm{kcal}/\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}^2.
q'_a = 4\,557{,}219\times 0{,}62831853 = 2\,864{,}00\\ \mathrm{kcal}/\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}.
Para tinta B ( \varepsilon_b=0{,}86):
q''_b = 1\,150 + 0{,}86\cdot 3\,407{,}219 = 1\,150 + 2\,930{,}208 = 4\,080{,}208\\ \mathrm{kcal}/\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}^2.
q'_b = 4\,080{,}208\times 0{,}62831853 = 2\,562{,}90\\ \mathrm{kcal}/\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}.
Para tinta C ( \varepsilon_c=0{,}65):
q''_c = 1\,150 + 0{,}65\cdot 3\,407{,}219 = 1\,150 + 2\,214{,}692 = 3\,364{,}692\\ \mathrm{kcal}/\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}^2.
q'_c = 3\,364{,}692\times 0{,}62831853 = 2\,114{,}10\\ \mathrm{kcal}/\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}.
Comparação com o requerido q'_{\text{req}}=2\,118{,}576\\ \mathrm{kcal}/\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}:
  • Tinta A: q'_a=2\,864{,}00>2\,118{,}576 → atende.
  • Tinta B: q'_b=2\,562{,}90>2\,118{,}576 → atende.
  • Tinta C: q'_c=2\,114{,}10<2\,118{,}576 → não atende (ligeiramente insuficiente).
Conclusão lógica para a escolha: das tintas disponíveis, A e B são suficientemente radiativas para condensar 95% do vapor. Se a escolha for a tinta com menor emissividade que ainda atende (padrão de economia/menor custo), escolhe-se a tinta B ( \varepsilon=0{,}86), pois é a menos “cara” em termos de emissividade entre as que satisfazem a condição. Portanto a tinta a ser usada é a tinta B.

Passo 6

Calcular explicitamente a energia radiante por unidade de comprimento com a tinta escolhida (tinta B).
Radiativo por área com \varepsilon_b=0{,}86:
q''_{\text{rad},b}=\varepsilon_b\,\sigma_{\text{kcal}}\left(T_s^4-T_a^4\right) =0{,}86\times 3\,407{,}219=2\,930{,}208\\ \mathrm{kcal}/\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}^2.
Radiativo por unidade de comprimento:
q'_{\text{rad},b}=q''_{\text{rad},b}\cdot P = 2\,930{,}208\times 0{,}62831853 = 1\,841{,}02\\ \mathrm{kcal}/\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}.
(Arredondando com 3 algarismos significativos: q'_{\text{rad},b}\approx 1{,}841\times10^{3}\\ \mathrm{kcal}/\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}.)

Passo 7

Resumo final e interpretação rápida (ponto prático para a prova):
  • A convecção fornece uma parcela fixa h_{\text{ar}}(T_s-T_a)=1\,150\\ \mathrm{kcal}/\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}^2.
  • A radiação é muito importante aqui por causa da grande diferença de temperatura; a tinta com emissividade 0{,}86 já garante a energia necessária.
  • A tinta C ( \varepsilon=0{,}65) fica um pouco abaixo do necessário e portanto não serve.

Resposta

(a) Tinta B ( \varepsilon=0{,}86).
(b) q'_{\text{rad}} \approx 1{,}841\times10^{3}\\ \mathrm{kcal}/\mathrm{h}\cdot\mathrm{m}.

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