Exercício 8. Para vec{u} e \vec{v}, vetores a, b, c \in \mathbb{R} tais que b \neq 0 e c \neq 0, prove que:
\frac{b \vec{v}}{b}=\vec{v}

Passo 1

O enunciado dá um espaço vetorial sobre \mathbb{R} com vetores \vec{u} e \vec{v} e escalares a,b,c\in\mathbb{R} tais que b\neq0 e c\neq0. Pede-se para provar que
\frac{b\vec{v}}{b}=\vec{v}.
Vamos usar os axiomas de espaço vetorial, em particular a existência de inverso multiplicativo para escalares não nulos, a associatividade da multiplicação escalar e o elemento neutro.

Passo 2

Por definição de divisão de vetor por escalar, para b\neq0 temos
\frac{b\vec{v}}{b} = \bigl(b\vec{v}\bigr)\cdot\frac{1}{b} = \frac{1}{b}\,(b\vec{v}).
Aqui interpretamos “dividir por b” como multiplicar pelo inverso escalar b^{-1}=\tfrac1b.

Passo 3

Usando a associatividade da multiplicação escalar,
\frac{1}{b}\,(b\vec{v}) = \Bigl(\frac{1}{b}\,b\Bigr)\vec{v}.

Passo 4

Pelo axioma de existência de inverso multiplicativo, \tfrac1b\cdot b = 1. Logo,
\Bigl(\frac{1}{b}\,b\Bigr)\vec{v} = 1\cdot \vec{v}.

Passo 5

Finalmente, pelo axioma do elemento neutro escalar, 1\cdot \vec{v}=\vec{v}. Portanto
\frac{b\vec{v}}{b}=\vec{v}.

Resposta

\vec{v}

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