Exercício 8. Para
, vetores
tais que
e
, prove que:
Passo 1
O enunciado dá um espaço vetorial sobre
com vetores
e
e escalares
tais que
e
. Pede-se para provar que
Vamos usar os axiomas de espaço vetorial, em particular a existência de inverso multiplicativo para escalares não nulos, a associatividade da multiplicação escalar e o elemento neutro.
Passo 2
Por definição de divisão de vetor por escalar, para
temos
Aqui interpretamos “dividir por
” como multiplicar pelo inverso escalar
.
Passo 3
Usando a associatividade da multiplicação escalar,
Passo 4
Pelo axioma de existência de inverso multiplicativo,
. Logo,
Passo 5
Finalmente, pelo axioma do elemento neutro escalar,
. Portanto