Sejam A, B, C, D e E, pontos. Prove que:
\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A E} \Longrightarrow \overrightarrow{E C}=\overrightarrow{A B}

Passo 1

O enunciado dá cinco pontos A,B,C,D,E e afirma que \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AE}.
Queremos provar que \overrightarrow{EC} = \overrightarrow{AB}.
O conteúdo aqui é manipulação algébrica de vetores, usando que em coordenadas \overrightarrow{PQ} = \vec{Q}-\vec{P} e que podemos somar ou subtrair vetores dos dois lados de uma igualdade.

Passo 2

Escrevendo em termos de coordenadas vetoriais, a hipótese é
\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AE} \quad\Longleftrightarrow\quad \bigl(\vec{C}-\vec{B}\bigr) \;=\;\bigl(\vec{E}-\vec{A}\bigr).

Passo 3

A partir de \vec{C}-\vec{B} = \vec{E}-\vec{A}, somamos \vec{B} em ambos os lados e subtraímos \vec{E}, obtendo
\vec{C} - \vec{E} \;=\; \vec{B} - \vec{A}.

Passo 4

Reconhecendo que \vec{C}-\vec{E} = \overrightarrow{EC} e \vec{B}-\vec{A} = \overrightarrow{AB}, temos justamente \overrightarrow{EC} = \overrightarrow{AB}.

Resposta

\displaystyle \overrightarrow{EC} = \overrightarrow{AB}.

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