Sejam A, B, C, D e E, pontos. Prove que:
\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{C D} \Longrightarrow \overrightarrow{A C}=\overrightarrow{B D}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}, então necessariamente \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BD}. O conteúdo que vamos usar é a identificação de vetores com diferenças de posição em relação à origem e as propriedades de soma e subtração de vetores.

Passo 2

Escolhemos um sistema de coordenadas e associamos a cada ponto sua posição vetorial: sejam \mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c},\mathbf{d} os vetores posição de A,B,C,D, respectivamente. Então
\overrightarrow{AB} = \mathbf{b}-\mathbf{a}, \quad \overrightarrow{CD} = \mathbf{d}-\mathbf{c}.
A hipótese \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD} fica
\mathbf{b}-\mathbf{a} \;=\;\mathbf{d}-\mathbf{c}.

Passo 3

Agora manipulamos essa igualdade adicionando \mathbf{c} e subtraindo \mathbf{b} de ambos os lados:
(\mathbf{b}-\mathbf{a}) + \mathbf{c} - \mathbf{b} \;=\; (\mathbf{d}-\mathbf{c}) + \mathbf{c} - \mathbf{b}.
No membro esquerdo isso vira \mathbf{c}-\mathbf{a}, e no direito dá \mathbf{d}-\mathbf{b}. Logo
\mathbf{c}-\mathbf{a} \;=\;\mathbf{d}-\mathbf{b}.

Passo 4

Reconhecemos que \mathbf{c}-\mathbf{a}=\overrightarrow{AC} e \mathbf{d}-\mathbf{b}=\overrightarrow{BD}. Assim concluímos
\overrightarrow{AC} \;=\;\overrightarrow{BD}.

Resposta

\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BD}.

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