Exercício 6. Ache uma base e a dimensão do subespaço vetorial W do espaço vetorial real ( \mathscr{P}(\mathbb{R}),+, \cdot ), que é gerado pelos seguintes polinômios:
{u, v, w}, onde
u(t) \doteq t^{3}+t^{2}-3 t+2, \quad v(t) \doteq 2 t^{3}+t^{2}+t-4, \quad w(t) \doteq 4 t^{3}+3 t^{2}-5 t+2, \text { para } t \in \mathbb{R} .

Passo 1

O enunciado pede a base e a dimensão do subespaço W\subset\mathscr P(\mathbb R) gerado pelos polinômios
u(t)=t^{3}+t^{2}-3t+2,\quad v(t)=2t^{3}+t^{2}+t-4,\quad w(t)=4t^{3}+3t^{2}-5t+2.
Para isso vamos representar esses polinômios pelas coordenadas em relação à base canônica \{t^3,t^2,t,1\} e verificar a independência linear.

Passo 2

Formamos a matriz cujas linhas são os vetores de coeficientes de u,v,w:
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & -3 & 2\\\\ 2 & 1 & 1 & -4\\\\ 4 & 3 & -5 & 2 \end{pmatrix}.
Cada linha corresponde aos coeficientes de t^3,\,t^2,\,t,\,1 em u,v,w, respectivamente.

Passo 3

Aplicamos operações de linha para escalonar A:
  1. L_2\leftarrow L_2-2L_1 e L_3\leftarrow L_3-4L_1
\begin{pmatrix} 1 & 1 & -3 & 2\\\\ 0 & -1 & 7 & -8\\\\ 0 & -1 & 7 & -6 \end{pmatrix}
  1. L_3\leftarrow L_3-L_2
\begin{pmatrix} 1 & 1 & -3 & 2\\\\ 0 & -1 & 7 & -8\\\\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}.
Todos os três pivôs são não nulos, portanto \rank(A)=3. Isso significa que u,v,w são linearmente independentes.

Passo 4

Como u,v,w são três vetores linearmente independentes em um espaço de dimensão pelo menos 3, a dimensão de W=\spa\{u,v,w\} é 3. Além disso, já que geram W e são independentes, \{u,v,w\} é uma base de W.

Resposta

Uma base de W é \{\,u,v,w\} e \dim(W)=3.

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