Exercício 7
Verificar quais das seguintes matrizes são inversíveis e determinar as inversas, caso existam
A=(lll1 & 0 & 1 1 & 1 & 0 0 & 2 & 1).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a matriz
A = 1 & 0 & 1 1 & 1 & 0 0 & 2 & 1
é inversível e, em caso afirmativo, determinar A^-1. O conteúdo usado será determinante para testar invertibilidade e o método de eliminação de Gauss–Jordan para encontrar a inversa.

Passo 2

Calculamos o determinante de A por expansão na primeira linha:
det(A) =1cdotdet1&02&1 -0cdot(cdots) +1cdotdet1&10&2 =1,(1cdot1-0cdot2)+1,(1cdot2-1cdot0)=1+2=3
Como det(A)=3neq0, A é inversível.

Passo 3

Para achar A^-1 formamos a matriz aumentada l[Amid Ir] e aplicamos Gauss–Jordan:
[ccc|ccc 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & 2 & 1 & 0 & 0 & 1 ]
R2 R2 - R1:
[ccc|ccc 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & -1 & -1 & 1 & 0 0 & 2 & 1 & 0 & 0 & 1 ]
R3 R3 - 2 cdot R2:
[ccc|ccc 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & -1 & -1 & 1 & 0 0 & 0 & 3 & 2 & -2 & 1 ]
R3 13 cdot R3:
[ccc|ccc 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & -1 & -1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & tfrac23 & -tfrac23 & tfrac13 ]
Eliminamos o 1 acima de R3:
R1 R1 - R3 e R2 R2 + R3:
[ccc|ccc 1 & 0 & 0 & tfrac13 & tfrac23 & -tfrac13 0 & 1 & 0 & -tfrac13 & tfrac13 & tfrac13 0 & 0 & 1 & tfrac23 & -tfrac23 & tfrac13 ]
Da parte direita obtemos A^-1.

Resposta

A é inversível e A^-1 = tfrac13 & tfrac23 & -tfrac13 -tfrac13 & tfrac13 & tfrac13 tfrac23 & -tfrac23 & tfrac13 éí

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