Obtenha uma base e a dimensão do núcleo e da imagem das seguintes transformações lineares. Verifique se são injetoras, sobrejetoras, isomorfismos:
, onde
Passo 1
O enunciado pede para achar a base e a dimensão do núcleo (
) e da imagem (
) da transformação linear
e depois verificar se
é injetora, sobrejetora ou isomorfismo. Para isso usaremos as definições:
Passo 2
Para achar
Da segunda equação vem . Então um vetor genérico do núcleo é
Portanto
onde uma base é
e
Passo 3
Para achar
, basta ver as imagens dos vetores da base canônica de
:
Logo
é gerada por
e
, ou seja
Uma base é
e
Passo 4
Pelos teoremas de dimensão:
Como
não é injetora e
,
não é um isomorfismo.
Resposta
Base de
:
Base de
: