Obtenha uma base e a dimensão do núcleo e da imagem das seguintes transformações lineares. Verifique se são injetoras, sobrejetoras, isomorfismos:
F: R^3 R^2, onde F(x, y, z)=(z, x+y)

Passo 1

O enunciado pede para achar a base e a dimensão do núcleo ( ker(F)) e da imagem ( Im(F)) da transformação linear
Fcolon R^3toR^2, F(x,y,z)=(z,;x+y),
e depois verificar se F é injetora, sobrejetora ou isomorfismo. Para isso usaremos as definições:
ker(F)=(x,y,z)inR^3mid F(x,y,z)=(0,0),
Im(F)=F(x,y,z)mid (x,y,z)inR^3

Passo 2

Para achar
Da segunda equação vem . Então um vetor genérico do núcleo é
Portanto
onde uma base é e

Passo 3

Para achar Im(F), basta ver as imagens dos vetores da base canônica de R^3:
F(1,0,0)=(0,1), F(0,1,0)=(0,1), F(0,0,1)=(1,0)
Logo Im(F) é gerada por (1,0) e (0,1), ou seja
Im(F)=span(1,0),,(0,1)=R^2
Uma base é (1,0),(0,1) e
diml(Im(F)r)=2

Passo 4

Pelos teoremas de dimensão:
dim(ker(F))=1>0Longrightarrow F não é injetora, ãé
dim(Im(F))=2=dim(R^2)Longrightarrow F é sobrejetora é
Como F não é injetora e dim(ker(F))neq0, F não é um isomorfismo.

Resposta

Base de ker(F): (-1,1,0)
dim(ker(F))=1
Base de Im(F): (1,0),(0,1)
dim(Im(F))=2
F não é injetora, é sobrejetora e não é isomorfismo.

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