Obtenha uma base e a dimensão do núcleo e da imagem das seguintes transformações lineares. Verifique se são injetoras, sobrejetoras, isomorfismos:
, a projeção no plano
, dada por
.
Passo 1
O enunciado define a transformação linear
dada por
Vamos usar as definições
para encontrar base e dimensão de
e
, e então verificar injetividade, sobrejetividade e isomorfismo.
Passo 2
Cálculo do núcleo. Queremos
sem restrição em
. Logo
portanto
.
Passo 3
Cálculo da imagem. Qualquer vetor em
é da forma
então
logo
.
Passo 4
Injetividade.
é injetora sse
. Aqui
, logo
e
não é injetora.
Passo 5
Sobrejetividade.
é sobrejetora sse
. Como
, a imagem não é todo
e
não é sobrejetora.
Passo 6
Isomorfismo. Um isomorfismo é bijetivo (injetor
sobrejetor). Como
não é nem injetora nem sobrejetora, não é isomorfismo.