Obtenha uma base e a dimensão do núcleo e da imagem das seguintes transformações lineares. Verifique se são injetoras, sobrejetoras, isomorfismos:
F: R^3 R^3, a projeção no plano x y, dada por F(x, y, z)=(x, y, 0).

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
FcolonR^3toR^3 dada por
F(x,y,z)=(x,y,0)
Vamos usar as definições
ker F = vinR^3 : F(v)=0, Im,F = F(v) : vinR^3,
para encontrar base e dimensão de ker F e Im,F, e então verificar injetividade, sobrejetividade e isomorfismo.

Passo 2

Cálculo do núcleo. Queremos
F(x,y,z)=(0,0,0)implies x=0,;y=0,
sem restrição em z. Logo
ker F = (0,0,z):zinR = span(0,0,1),
portanto dimker F=1.

Passo 3

Cálculo da imagem. Qualquer vetor em Im,F é da forma
F(x,y,z)=(x,y,0)=(a,b,0),
então
Im,F=(a,b,0):a,binR=span(1,0,0),(0,1,0),
logo dimIm,F=2.

Passo 4

Injetividade. F é injetora sse ker F=0. Aqui dimker F=1>0, logo ker Fneq0 e F não é injetora.

Passo 5

Sobrejetividade. F é sobrejetora sse Im,F=R^3. Como dimIm,F=2<3, a imagem não é todo R^3 e F não é sobrejetora.

Passo 6

Isomorfismo. Um isomorfismo é bijetivo (injetor + sobrejetor). Como F não é nem injetora nem sobrejetora, não é isomorfismo.

Resposta

ker F = span(0,0,1), dimker F=1 Im,F = span(1,0,0),(0,1,0), dimIm,F=2 F não é injetora, não é sobrejetora e, portanto, não é isomorfismo.

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